35.5　投资机会中期权的定价

我们已经提到过，大多数投资项目都会涉及期权。这些期权可以给项目增加可观的价值，但人们常常会忽略这些期权或使用错误的方法定价。隐含在投资项目里的期权可能包括以下几种。

（1）放弃期权（abandonment option）。这是指转让或关闭项目的权利。它是项目价值上的美式看跌期权，期权的执行价格是项目的清仓（或转让）价值减去清仓时的所有费用。当清仓价值很低时，执行价格可能为负值。放弃期权可以减轻非常糟糕的投资结果对项目的影响，从而增加最初项目的价值。

（2）扩大期权（expansion option）。这是指在以后当条件有利时增加投资，从而增加生产的权利。它是在增加生产能力价值上的美式看涨期权。期权的执行价格是增加生产能力的成本被贴现到行使期权时的价值。执行价格常常与最初的投资有关。如果在最初选择构建时，管理层计划的生产规模已经超过预期生产的水平，那么执行价格会相对很小。

（3）缩减期权（contraction option）。这是减小项目规模的权利，它是关于减少生产能力的价值上的美式看跌期权。期权的执行价格是在行使时刻所有将被节省的未来支出的贴现值。

（4）推迟期权（option to defer）。对于管理人而言，一种非常重要的权利是能够推迟项目。这是项目价值上的美式看涨期权。

（5）延期期权（option to extend life）。有时可能在付出一笔固定费用后可以延长一个资产的寿命，这是在资产将来价值上的欧式看涨期权。

35.5.1　例子

作为对含有隐含期权投资评估的简单例子，我们考虑下面问题：一家公司需要决定是否要投资1500万美元以便在今后3年内从某处按每年200万单位的速度提取600万单位商品。运作设备的固定成本是每年600万美元，而可变成本（variable cost）是提取每单位商品需要17美元。我们假设所有期限的无风险利率均为每年10%，商品即期价格是每单位20美元，1年、2年和3年的期货价格分别是每单位22美元、23美元和24美元。

35.5.2　当没有隐含期权时的定价

我们首先假定这个项目中没有隐含期权。在1年、2年和3年后，商品价格在风险中性世界里的期望值分别是22美元、23美元和24美元。在风险中性世界里项目收益的期望值可以通过费用支出数据计算，在1年、2年和3年的值分别是（按百万美元计）4.0，6.0和8.0。因此，项目的价值为

这个分析表明，公司不应当承担这个项目，因为这样做会使股权持有者的财富降低54万美元。

35.5.3　利用树形

我们现在假设商品的即期价格服从随机过程

其中a=0.1和σ=0.2。对于这里的例子，在第34.4节里我们说明了如何对商品价格构造树形，如图35-1所示（与图34-2相同）。树形所代表的过程与对S所假设的过程、对a和σ所假设的值，以及1年、2年和3年的期货价格是一致的。

当没有隐含期权时，我们不需要利用树形来对项目估价（我们已经知道在没有期权时项目的基本价值是-0.54）。但是，在我们考虑期权之前，为了帮助理解以及将来计算，我们利用树形来对没有期权时的项目进行估价，并且验证前面所得到的结果。图35-2展示了项目在图35-1中的每个节点上的价值。例如，考虑节点H，在第3年年末商品价格为22.85的概率是0.2217，于是在第3年内的盈利是2×22.85-2×17-6=5.70。与此类似，在第3年年末商品价格为16.16的概率是0.6566，因此盈利是-7.68，以及在第3年年末商品价格为11.43的概率是0.1217，因此盈利是-17.14。由此可以得到在图35-2中节点H上的项目价值为

作为另一个例子，考虑节点C，移动到价格为31.37的节点F的概率是0.1667。在第2年的现金流为2×31.37-2×17-6=22.74。在节点F后的现金流价值为21.24。因此，当移动到节点F时项目的总价值为21.42+22.74=44.16。类似地，当我们移动到节点G和H时，项目的总价值分别为10.35和-13.93。因此，项目在节点C的价值为

图35-2显示了在最初的节点A上，项目的价值为14.46。因此，当我们将项目在开始时的投资考虑进去时，项目的价值为-0.54，这与我们前面的计算结果一致。

图35-1　即期商品价格的树形：这里p_u，p_m和p_d是从一个节点向“上”“中”和“下”移动的概率

图35-2　对没有内含期权的基本项目进行评估：这里p_u、p_m和p_d是从一个节点向“上”“中”和“下”移动的概率

35.5.4　放弃期权

现在假设公司具有随时放弃项目的选择。我们假定项目一旦被放弃，项目将没有残值，而且不需要再支付费用。放弃期权是执行价格为零的美式看跌期权，其价格的计算显示在图35-3中。由于在节点E，F和G上项目的价值为正，期权不应当被行使，而在节点H和I上应当行使期权。在节点H和I上看跌期权的价值分别是5.31和13.49。在树形上向前递推计算，我们可以计算在节点D上如果期权不被行使，其价值为

在节点D行使看跌期权的价值为9.65。这个值大于4.64，因此我们应当在节点D上行使期权。看跌期权在节点C的价值为

在节点A的价值为

因此，放弃期权具有194万美元的价值，它将项目的价值由-54万增加到+140万。由此可见，前面一个不吸引人的项目却会给股权持有人带来正价值。

图35-3　对含有放弃期权的项目进行评估：这里p_u、p_m和p_d是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率

35.5.5　扩大期权

下面我们假设公司没有放弃项目的选择，但却具有随时将项目的规模扩大20%的选择，扩大规模的费用是200万美元。商品产量从每年200万个单位增加到240万单位，可变成本仍保持在每单位17美元，但固定支出却增加了20%，由600万美元增至720万美元。这里所描述的扩大期权是付200万美元来购买由图35-2表示的基本项目20%价值上的美式看涨期权，期权价值由图35-4计算。在节点E，应当行使期权，收益是0.2×42.24-2=6.45。在节点F也应当行使期权，收益是0.2×21.42-2=2.28。在节点G，H和I上，期权不应当被行使。在节点B，行使期权要比等待的价值大，期权价值为0.2×38.32-2=5.66。在节点C，如果期权不被行使，它的价值为

而如果期权被行使，它的价值为0.2×10.80-2=0.16。因此，在节点C不应当行使期权。在节点A，如果期权不被行使，其价值为

如果期权被行使，其价值为0.2×14.46-2=0.89。因此提前行使期权不是最优。在此情形下，期权会将项目的价值从-0.54增加到+0.52。这里我们再次发现，尽管以前项目具有负值，但现在却是正值。

图35-4　对含有扩大期权的项目进行评估：这里p_u、p_m和p_d是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率

相对来说，图35-4中的扩大期权比较容易评估，因为一旦期权被行使，随后的所有现金流出和流入均增加20%。在固定成本保持不变或增长小于20%的情形，我们将需要在图35-4的节点上考虑更多的信息。明确地讲，我们需要记录下面信息来计算行使期权所带来的收益：

（1）其后固定成本的贴现值；

（2）其后除去可变成本的收入。

然后可以计算行使期权时的收益。

35.5.6　多种期权

当一个项目具有两个或更多个期权时，它们一般不会是独立的。同时含有期权A和B的价值一般不等于两个期权之和。为了说明这一点，假定我们所考虑的公司同时具有放弃和扩大的权利。当项目已经被放弃时，再扩大项目是不可能的。而且放弃项目的看跌期权价值一般会依赖于项目是否已经被扩大过。^[1]

我们例子中的两个期权之间的相互影响可以通过在每个节点上考虑4个状态来处理：

（1）还没有放弃，还没有扩大；

（2）还没有放弃，已经被扩大；

（3）已经放弃，还没有被扩大；

（4）已经放弃，已经被扩大。

从树上向前递推时，我们需要在每个节点上计算所有4种不同期权的价值总和。在第27.5节里对依赖路径期权定价的处理方法有更详细的讨论。

35.5.7　多个随机变量

当存在多个随机变量时，基本项目的价值一般可以通过蒙特卡罗模拟来确定。但对项目的隐含期权定价却变得更加困难。这是因为蒙特卡罗模拟是从工程开始进行模拟，直到工程结束。当模拟到某一点时，我们没有关于工程未来现金流贴现值的信息。然而，有时可以使用在27.8节中提到的关于利用蒙特卡罗方法计算美式期权价格的技巧。

为了说明这一点，Schwartz和Moon（2000）解释了如何将业界事例35-1中的分析推广到可以考虑包括当未来现金流的贴现值为负时放弃项目的权利（即宣布破产的权利）。^[2]每个时间步上，假定不放弃的价值与一些变量诸如现期收入、收入增长率、波动率、现金余额以及税务结转亏损之间存在一种多项式关系。每次模拟都在时间点上提供了一个为取得以上关系的最小二乘法估计的观察样本，这正是27.8节里的Langstaff和Schwartz方法。^[3]

[1] 在例35-3和图35-4中的期权恰好不相关。但是当取时间间隔更小而使得树形变得更大时，两个期权之间的影响将会成为问题。

[2] 35.4节的分析假定现金流余额为负时，破产会发生，但这一假设对亚马逊不一定为最优。

[3] 见F.A.Longstaff and E.S.Schwartz，“Valuing American Options by Simulation：A Simple Least-Squares Approch，”Review of Financial Studies，14，1（Spring 2001）：113-47。