19.12　公式的推广

到目前为止，我们所推导出的Delta、Theta、Vega与Rho只适用无股息股票上的欧式期权。表19-6给出了当股票支付连续股息收益率q时，这些公式相应的形式，其中d₁和d₂与式（17-4）和式（17-5）中一样。将q取为股指的股息收益率时，我们可以得出欧式股指期权的希腊值；将q取为外币无风险利率时，我们可以得出欧式货币期权的希腊值；当取q=r时，我们可以得出欧式期货期权的Delta、Gamma和Vega值。欧式期货看涨期权的Rho等于－cT，而欧式看跌期货期权的Rho等于－pT。

表19-6　股息收益率为q的资产上期权的希腊值

对于外汇期权，对于两种不同的利率有两个不同的Rho值。国内利率的Rho由表19-6中公式给出（d₂与式（17-11）中一样），欧式看涨期权对于外币利率的Rho是

欧式看跌期权对于外币利率的Rho是

其中d₁与式（17-11）中一样。

在第21章里我们将讨论如何计算美式期权的希腊值。

19.12.1　远期合约的Delta

Delta的概念也适用于期权以外的其他金融产品。考虑一个无股息股票上的远期合约，式（5-5）表示远期合约的价值为S₀－Ke^－rT，其中K为交割价格，T为远期的期限。在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为ΔS时，股票上远期合约的价格变化也为ΔS，因此远期合约多头的Delta永远为1.0。这说明一个股票上远期合约的多头可以用1只股票的空头来对冲，而远期合约的空头可以用买入1只股票来对冲其风险。^[1]

对于支付股息收益率q的资产，式（5-7）给出远期合约的Delta为e^－qT。对于股指合约，q等于股息收益率。对于外汇远期合约，q等于外币无风险利率r_f。

19.12.2　期货合约的Delta

由式（5-1）可知，一个无股息股票的期货价格为S₀e^rT，其中T为期货的期限。这一公式说明，在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为ΔS时，期货价格的变化为ΔSe^rT。因为期货价格每天都按市场定价，期货合约多头的持有者几乎马上会得到ΔSe^rT数量的收益，因此期货合约的Delta为e^rT。对于股息收益率为q的股票，利用式（5-3）我们可以得出Delta为e^（r－q）T。

我们应当注意，合约每日结算会造成期货合约Delta与远期合约Delta之间的轻微差别。在利率为常数，而且远期价格等于期货价格时，这一结论仍成立（与其相关的讨论，见业界事例5-2）。

有时期货合约会用来构造Delta中性的头寸。定义

T：期货合约的到期日；

H_A：Delta对冲所需持有的资产头寸；

H_F：Delta对冲时需要的期货合约数量。

如果标的资产不支付股息，上面的分析说明

如果标的资产支付的股息收益率为

对于股指，q等于股指收益率；对于货币，q等于外币汇率，因此

例19-8

假设一家美国银行持有一个外汇期权交易组合，并可以通过持有458000英镑的空头来达到Delta中性。假定美国无风险利率为4%，英国无风险利率为7%。由式（19-7）得出，采用9个月期的货币期货做对冲时需要的空头为

即468442英镑。因为每一个期货合约是关于卖出或买入62500英镑。这时，该银行进入7份期货合约的空头（这里的合约数量7是与468442/62500最近的整数）即可以达到对冲目的。

[1] 这里的对冲为保完即忘型。因为Delta永远为1，在合约期限内，我们无须对股票头寸重新进行调整。