24.4　由债券收益率溢差来估计违约概率

像表24-1这样的数据提供了一种估计违约概率的方法，另一种方法是利用债券收益率溢差。债券的收益率溢差是所许诺的收益率高出无风险利率的部分。通常的假设是这部分多出的收益率是对所承受违约风险的补偿。^[1]

假设一个T年期债券的收益率溢差是每年s（T）。这说明在时间0到T之间债券的平均损失率大概是每年s（T）。假设在这段时间里违约率的平均值是。而对平均损失率的另一种估计是，其中R是所估计的回收率。因此近似地会有关系式

或

在很多情况下这个逼近式都很有用处。

例24-1

假设一家公司所发行的1年期、2年期和3年期债券的收益率比无风险利率分别高出150个基点、180个基点和195个基点。如果预估的回收率是40%，由式（24-2）给出的一年平均违约率为0.0150/（1-0.4）=0.025，即每年2.5%。类似地，前两年的平均违约率是0.0180/（1-0.4）=0.030，即每年3.0%。前3年的平均违约率是0.0195/（1-0.4）=0.0325，即每年3.25%。这些结果表明第2年的平均违约率是2×0.03-1×0.035，即3.5%；而第3年的平均违约率是3×0.0325-2×0.03＝0.0375，即3.75%。

24.4.1　吻合债券价格

为了使计算更加精确，我们可以选择违约率使其与债券价格吻合，这种方式与在第4.5节里计算零息收益率曲线的做法类似。假设使用的是期限为t_i的债券（t_i满足：t₁<t₂<t₃<…）。用最短期限的债券计算直到t₁的违约率，用下一个债券计算介于t₁与t₂之间的违约率，等等。

例24-2

假设所有期限的无风险利率均为每年5%（连续复利），1年期、2年期和3年期债券的收益率分别为6.5%、6.8%和6.95%（也是连续复利，这与例24-1里的数据是一致的）。我们假设每个债券的面值都是100美元，票息都是每年8%（每半年支付一次，而且刚刚付过一次票息）。由债券的收益率可以计算出它们的价格分别为101.33美元、101.99美元和102.47美元。假如债券是无风险的话，它们的价格应当分别是102.83美元、105.52美元和108.08美元（由5%的收益率计算）。这说明一年期债券的违约损失期望值的现值应当是102.83-101.33=1.50美元。类似地，2年期与3年期债券的违约损失期望值应当是3.53美元和5.61美元。假设第i年的违约率为λ_i（1≤i≤3），回收率为40%。

考虑1年期债券，在前6个月内违约的概率是，在接下来6个月内违约的概率是。假设违约只可能发生在6个月时间段的中间，那么违约可能发生的时间是3个月后和9个月后。在3个月时债券的无风险（远期）价格为

由上一节里回收率的定义我们知道，如果违约发生的话债券将会值40美元，所以当3个月后违约发生时所受损失的现值等于

在第9个月的时间点上债券的无风险价值为104e^-0.05×0.25=102.71，而如果有违约的话，债券的价值将为40，所以当9个月后违约发生时所受损失的现值等于

因此，违约率λ₁必须满足

这个方程的解（可以利用Excel里的Solver）为λ₁=2.46%。

接下来考虑2年期债券。这个债券在3个月与9个月时的违约概率可以从上面关于1年期债券的分析中得到，而对2年里违约率的计算可以通过使违约损失期望的现值等于3.53美元来完成。对3年期债券可以由类似的方法处理。通过这些计算，我们可以得到在第2年与第3年的违约率分别是3.48%与3.74%（注意，这里所估计的违约率与在例24-1中通过式（24-2）所得结果非常相似）。

24.4.2　无风险利率

无风险利率的选择对我们刚刚介绍的计算违约概率方法有重要影响。例24-1中的溢差是债券收益率与无风险利率之差，而如何计算无风险债券价格对例24-2中计算由债券价格所蕴含的违约损失期望值有关键影响。债券交易员所用的参考无风险利率通常是某种国库券利率。例如，交易员对一个债券的报价也许是国库券上溢差250个基点。但是正如9.1节里所述，由于国库券利率太低，将其当成无风险利率没有太多用处。

信用违约互换合约（CDS）溢差（在7.1节里有过简单讨论，在第25章里将有更详细的论述）提供了不依赖所选择无风险利率的信用溢差估计。有些研究人员试图通过将债券溢差与CDS溢差相比较，从而估计所蕴含的无风险利率。他们研究的结果表示，所蕴含的无风险利率比较接近于相应的LIBOR/互换利率。例如，一种估计的结果是蕴含无风险利率比LIBOR/互换利率低大约10个基点。^[2]

24.4.3　资产互换溢差

在实际中，在计算信用风险时常常将LIBOR/互换利率当成参考无风险利率。资产互换溢差更直接地提供了债券收益在LIBOR/互换曲线之上溢差的估计。

为了解释资产互换的运作机制，考虑以下情形：某个债券的资产互换溢差报价为150个基点，对应于这一报价有三种可能：

（1）债券价格等于账面价格，即100美元。资产互换的一方（公司A）支付债券的券息，而另一方（公司B）支付LIBOR+150个基点。注意这里的交易是将债券所承诺的券息进行交换，即无论债券是否违约，交换都会进行。

（2）债券价格低于其账面价格。假定债券价格为95美元。在资产互换中，A方除了支付券息外，在互换开始时A方还要对每100美元的面值先支付5美元。B方支付LIBOR+150个基点。

（3）债券价格高于其账面价格，假定债券价格为108美元。在互换协议开始时，B方首先对每100美元的面值先支付8美元。B方付LIBOR+150个基点，A方支付券息。

在以上3种不同情形下，资产互换溢差（所对应的付款现金流）的贴现值等于无风险债券的价格与相似企业债券的差价。这里的无风险利率假设为LIBOR/互换曲线（见练习题24.20）。这个结果在例24-2这样的计算中很有用处。

[1] 在今后我们会讨论这一点，这里的假设并不完美。在实际中，企业债券的价格也会受流动性的影响：债券流动性越差，债券价格也就越低。

[2] 见J.Hull，M.Predescu，and A.White，“The Relationship between Credit Default Swap Spreads，Bond Yields，and Credit Rating Announcements，”Journal of Banking and Finance，28（November 2004），2789-2811。