28.6　改进布莱克模型

在18.8节中我们曾指出，在利率为常数情形下，布莱克模型是利用标的资产的远期或期货价格对欧式期权定价的流行工具。接下来我们将放宽常数利率的假设，并说明当利率为随机变量时，我们仍可以采用布莱克模型来利用标的资产的远期价格对欧式期权定价。

考虑一个标的资产上执行价格为K期限为T的欧式看涨期权，由式（28-20），这个看涨期权的价格为

其中S_T是标的资产在时间T的价格，E_T表示一个关于P（t，T）为远期风险中性世界里的期望。定义F₀和F_T分别为在T时刻到期的远期合约在0时刻和T时刻的远期价格，因为S_T=F_T，

假设F_T在所考虑的世界里是对数正态，而且ln（F_T）的标准方差等于，这是因为远期价格所服从随机过程中的波动率为σ_F。在第15章的附录式（15A-1）证明了

其中

由式（28-21）我们得出E_T（F_T）=E_T（S_T）=F₀，因此

其中

类似地

其中，p是执行价格为K、期限为T的欧式看跌期权的价格。以上模型正是布莱克模型。

当利率为随机变量时，这一模型对投资资产以与消费资产均适用，其中F₀为资产的远期价格，变量σ_F可以被解释为远期资产价格的波动率（常数）。