27.8　蒙特卡罗模拟与美式期权

蒙特卡罗模拟法很适合用于对依赖路径期权或与多变量有关的期权定价。树形结构和有限差分法可用于美式期权的定价。如果期权既是美式期权，又依赖路径时会如何？如果一个美式期权与几个随机变量有关将如何处理？在27.5节中，我们讨论了如何改进二叉树算法来考虑与路径有关的若干情形。一些研究人员尝试不同的算法以便将蒙特卡罗法用于美式期权的定价。^[1]在这里，我们将讨论两种不同的算法。

27.8.1　最小二乘法

当对美式期权定价时，我们必须在可以提前行使期权的时间上对继续持有期权或行使期权做出选择。行使期权所得价值通常比较容易决定。包括Longstaff和Schwartz在内的一些研究人员提出了一种在蒙特卡罗模拟过程中确定继续持有期权所得价值的方法。^[2]在必须做出是否提前行使期权决定的时间点上，Longstaff和Schwartz提出了采用最小二乘法来确定继续持有期权的价值与某些有关变量之间的最佳匹配关系。解释这一方法的最好办法是通过例子。我们在这里采用的例子来自于Longstaff和Schwartz的文章。

考虑一个无股息股票上的3年期美式看跌期权，在第1年年末、第2年年末和第3年年末期权持有人可以行使期权。无风险利率为每年6%（连续复利），当前的股票价格为1.00，期权执行价格为1.10。假定我们模拟了8条如表27-4所示的股票价格路径（这只是为了说明问题。在实际中，我们需要做很多次模拟）。如果期权只在第3年年末行使，行使期权所得的资金流等于期权的内涵价值，相应结果显示在表27-5的最后一列。

表27-4　看跌期权例子的模拟路径

表27-5　期权只在第3年年末被行使时所对应的现金流

如果期权在第2年年末为实值期权，期权持有者必须决定是否应提前行使期权。由表27-4得出，路径1，3，4，6，7在第2年年末时期权处于实值状态。对于这些路径，我们假定以下近似关系

其中S为股票在第2年时的价格，V为继续持有期权的价值被贴现到2年年末时的值。S的5个观察值为1.08，1.07，0.97，0.77和0.84。由表27-5得出相应V的价值分别为0.00，0.07e^－0.06×1，0.18e^－0.06×1，0.20e^－0.06×1和0.09e^－0.06×1。我们采用这些数据来求使

达到最小的系数a、b和c，其中S_i和V_i分别为S和V的第i个观察值。这些系数分别为a=－1.070，b=2.983，c=－1.813，因此最佳匹配方程为

因此，对于路径1、3、4、6、7，在第2年年末继续持有期权的价值为0.0369、0.0461、0.1176、0.1520和0.1565。由表27-4得出行使期权的价值分别为0.02、0.03、0.13、0.33和0.26，这意味着在路径4、6和7上，我们在第2年年末应行使期权。对于这8条路径，表27-6总结了期权或在第3年年末行使，或在第2年年末行使所产生的现金流。

表27-6　期权只在第2年年末或第3年年末被行使所对应的现金流

我们接下来考虑期权在第1年年末为实值期权的情形，期权在路径1、4、6、7、8上为实值期权。由表27-4得出，在第1年年末，相应的股票价格分别为1.09、0.93、0.76、0.92和0.88。由表27-6得出，继续持有期权的价值被贴现到第1年年末时的价格分别为0.00，0.13e^－0.06×1，0.33e^－0.06×1，0.26e^－0.06×1和0.00。最小二乘关系式为

因此，对于路径1、4、6、7、8，在第1年年末继续持有期权的价值分别为0.0139、0.1092、0.2886、0.1175和0.1533。由表27-4得出，行使期权所的价值分别为0.01、0.17、0.34、0.18和0.22。表27-7总结了期权可在第3年年中的每一年末均可以被行使时所产生的现金流。期权价格等于所有现金流以无风险利率进行贴现后的平均值，即

因为以上数值大于0.10，因此立即行使期权不是最优。

表27-7　期权的现金流

这里介绍的方法可以在多方面加以推广。如果可以在任何时刻行使期权，我们可以通过增加可行使期权时刻次数（类似于二叉树）的方式来估计期权。我们也可以假设V和S之间的关系式更加复杂，例如，我们可以假设V是S的立方函数（而不是二次函数）。当提前行使权利与多个变量有关时，我们也可以采用以上的算法进行计算，并假设V和变量之间关系具有某种函数形式，其中的参数仍可由最小二乘法来确定。

27.8.2　将行使边界参数化的方法

有一些研究人员（例如Andersen）提出了另一种对提前行使边界进行参数化来对美式期权的模拟定价方法。边界确定的方式是由期权的到期日开始向后倒推，并在每一步以迭代的形式选取最佳参数。^[3]为了说明这种方法，我们仍采用上面的看跌期权例子，并且仍然假定在表27-4中为模拟而生成的8个路径。这时，提前行使的边界是以S的关键值S（t）来确定的。在时刻t，如果股票价格小于S（t），期权被提前行使；如果股票价格大于S（t），期权不会被提前行使。S（3）的值为1.10，即当t=3时，如果股票价格小于1.10，期权被行使；如果股票价格大于1.10，期权不会被行使。我们接下来考虑如何计算S^*（2）。

假定S（2）的取值小于0.77，期权在任何一条路径上都不会在第2年时被行使。在第2年年末，期权在8条路径下的价值分别为0.00、0.00、0.07e^－0.06×1、0.18e^－0.06×1、0.00、0.20e^－0.06×1、0.09e^－0.06×1和0.00。平均值为0.0636。接下来，假定S（2）=0.77。这时，在第2年年末，期权在8个路径下的价值分别为0.00、0.00、0.07e^－0.06×1、0.18e^－0.06×1、0.00、0.33、0.09e^－0.06×1和0.00。平均值为0.0813。类似地，当S（2）分别等于0.84、0.97、1.07和1.08时，相应的期权价值分别为0.1032、0.0982、0.0938和0.0963。以上分析说明，S（2）的最佳（即使得期权价格的平均值为最大）选择是0.84（更准确地讲，0.84≤S（2）<0.97）。当S（2）等于这一最佳选择时，在第2年年末，期权在8个路径下的价值分别为0.00、0.00、0.0659、0.1695、0.00、0.33、0.26和0.00，其平均值为0.1032。

我们接着考虑如何计算S（1）。假定S（1）<0.76，期权在任何一条路径上都不会在第1年时被行使，期权在第1年年末时的价值为0.1032e^-0.06×1=0.0972。假定S（1）=0.76。这时，在第1年年末，期权在8条路径下的价值分别为0.00、0.00、0.0659e^－0.06×1、0.1695e^－0.06×1、0.00、0.34、0.26e^－0.06×1和0.00，其平均值为0.1008。类似地，当S（1）分别等于0.88、0.92、0.93和1.09时，相应的期权价值分别为0.1283、0.1202、0.1215和0.1228。以上分析说明，S（1）的最佳选择是0.88（更准确地讲，0.88≤S（1）<0.92）。在没有提前行使的情况下，0时刻的期权价值为0.1283e^－0.06×1=0.1208，这一价值大于在0时刻立即行使期权的价值0.10。

在实际中，我们需要进行成千上万次的模拟来确定以上所描述的行使边界。一旦行使边界被确定以后，我们将舍弃为确定行使边界所模拟的路径，并利用所得到的行使边界重新进行新的模拟来对期权定价。我们例子中的美式期权比较简单，因为在任意时刻都可以通过一个股票价格来定义出提前行使边界。在更复杂的情形下，我们必须对如何将边界参数化做一些假设。

27.8.3　价格的上界

以上讨论的两种方法往往会低估美式期权的价格，这是因为我们提供的提前行使期权边界并非为最优。由于这个原因，Andersen和Broadie提出了一个计算期权上界的方法。^[4]与计算期权价格的下界的算法并用，Andersen和Broadie方法可以求出更加精确的期权价格估计值，其精确度要高于仅仅采用计算下界的方法所得出的估计值。

[1] Tilley是最早对这种问题给出解法的人，见J.A.Tilley，“Valuing American Options in a Path Simulation Model，”Transactions of the Scoiety of Actuaries，45（1993）：83-104。

[2] 见F.A.Longstaff and E.S.Schwartz，“Valuing American Options by Simulation：A Simple Least-Square Approach，”Review of Financial Studies，14，1（Spring 2001）：113-47。

[3] 见L.Andersen，“A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model，”Journal of Computational Finance，3，2（Winter 2000）：1-32。

[4] 见L.Andersen and M.Broadie，“A Primal-Dual Simulation algorithm for Pricing Multi-Dimensional American Options，”Management Science，50，9（2004），1222-34。