附录15A　布莱克-斯科尔斯-默顿公式的证明

在证明布莱克-斯科尔斯-默顿公式之前，我们先证明一个重要关系式，在今后的章节中我们也将会用到这一结论。

重要关系式

如果V服从对数正态分布，lnV的标准差为w，那么

其中

这里E代表期望值。

关系式的证明

定义g（V）为V的概率密度函数，因此

lnV服从正态分布，标准差为w，由正态分布的性质得出，lnV的均值为m，其中^[1]

定义一个新的变量

Q服从正态分布，均值为0，标准差为1.0。将Q的密度函数记为h（Q），因此

利用式（15A-4）将式（15A-2）关于V的积分转换为关于Q的积分，我们得出

或者

我们现在有

这意味着，式（15A-5）变为

定义N（x）为均值为0，标准差为1的标准正态分布变量小于x的概率，式（15A-6）的第1项积分变为

或

将式（15A-3）中的m代入以上表达式，得出

类似地式（15A-6）中的第2项积分等于N（d₂）。因此，式（15A-6）变为

代入（15A-3）定义的m项，我们可以得出结论。

布莱克-斯科尔斯-默顿的结果

我们现在考虑一个在时刻T到期的欧式看涨期权，标的股票不支付股息，期权的执行价格为K，无风险利率为r，股票的当前价格为S₀，股票价格的波动率为σ。由式（15-22）得出，看涨期权价格c满足

其中S_T为股票在T时刻的价格，代表风险中性世界里的期望值。在布莱克-斯科尔斯-默顿对随机过程的假设下，S_T服从对数正态分布。由式（15-3）和式（15-4）又得出，（S_T）=S₀e^rT，lnS_T的标准差为。

由以上证明的关键结论，我们可以将式（15A-7）变为

或

其中

这正是布莱克-斯科尔斯-默顿的结果。

[1] 关于这个的证明，请见Technical Note 2at www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes。