32.1　Heath，Jarrow和Morton模型

在1990年，David Heath，Bob Jarrow和Andy Morton（HJM）发表了一篇重要文章，文章描述了一种收益率曲线模型必须满足的无套利条件。^[1]为了描述他们的模型，我们使用如下记号：

P（t，T）：本金为1美元，在时间T到期的零息债券在时间t时的价格。

Ω_t：该向量是用来确定时间t时与波动率相关的过去和现在的利率与债券价格。

v（t，T，Ω_t）：P（t，T）的波动率。

f（t，T₁，T₂）：在时间t观察的用于时间T₁与T₂之间的远期利率。

F（t，T）：在时间t观察的适用于时间T到期合约的瞬时远期利率。

r（t）：时间t的短期无风险利率。

dz（t）：驱动期限结构移动的维纳过程。

32.1.1　零息债券价格和远期利率过程

我们首先假设只有一个因子，并且采用传统风险中性世界来进行分析。由于零息债券是一个不提供收入的可交易债券，在传统风险中性世界里，它的收益率为r。这意味着描述零息债券的随机过程有如下形式

如变元Ω_t所示，在模型的最一般形式下，零息债券的波动率可以是过去和现在利率与债券价格的函数（只要函数具有某些性质）。由于债券价格波动率在到期日下降为0，我们必须有（注：方程v（t，t，Ω_t）=0与假设所有折价债券（discount bond）在任何时间都具有有限的漂移项是等价的。假如在债券到期时，债券价格的波动率不为零，那么为了保证在到期时债券价格等于其面值，漂移率必须为无穷大。）

由式（4-5）得出，远期利率f（t，T₁，T₂）与债券价格满足以下关系式

由式（32-1）和伊藤引理得出

和

因此由式（32-2）

式（32-3）说明，f的风险中性过程只依赖于v，它对于r和P的依赖性仅仅是因为v本身依赖于这些变量。

在式（32-3）中，令T₁=T和T₂=T+ΔT，然后取ΔT趋于0时的极限，这时f（t，T₁，T₂）变为F（t，T），dz（t）的系数变为－v_T（t，T，Ω_t），而dt的系数变为

其中v的下标表示偏导数，于是

一旦给出了函数v（t，T，Ω_t），dF（t，T）的风险中性过程即为已知。

式（32-4）说明在瞬时远期利率的漂移率与标准差之间存在一种关系，这一点正是HJM模型的关键所在。从τ=t到τ=T对v_τ（t，T）进行积分，我们得出

因为v（t，t，Ω_t）=0，以上方程变为

如果m（t，T，Ω_t）和s（t，T，Ω_t）分别为F（t，T）的瞬时漂移率和标准差，F（t，T）满足

那么由式（32-4）得出

这就是HJM的结果。

在一般的HJM模型下，短期利率r的过程为非马尔科夫过程。这说明r在将来时刻t的分布既依赖于r在时间t的值，也依赖于r在现在与时间t之间的路径。^[2]这一点正是在实现一般HJM模型时的困难所在，所以不得不采用蒙特卡罗模拟法。利用树形结构时会有很多问题，因为当我们利用树形结构来表示期限结构移动时，树形的分叉呈不重合的形状。假设模型只含有一个因子，树形为图32-1所示的二叉树，那么在n步后将有2ⁿ个节点（当n=30时，2ⁿ大约为10亿）。

图32-1　一般HJM模型中产生的非重合树形

由式（32-4）所表达的HJM模型貌似简单，其实却非常复杂。在大多应用中某个特定的远期利率F（t，T）是个马尔科夫过程，并且我们可以用一个重合树形来描述，但这一树形却不能用于所有的远期利率。如果取s（t，T，Ω_z）为常数σ，我们将会得到Ho-Lee模型（见练习题32.3）。当取S（t，T，Ω_t）=σe^{－a（T－t）}时，我们将会得到Hull-White模型（见练习题32.4）。这些都是HJM模型为马尔科夫过程的例子，而且在这些例子中短期利率r与所有远期利率均可由同一个树形来表示。

32.1.2　延伸到多因子模型

HJM的结果可以被推广到存在多个相互独立因子的情形。假设

利用与前面类似的分析（见练习题32.2），我们可以得出

[1] 见D.Heath，R.A.Jarrow，and A.Morton，“Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates：A New Methodology，”Econometrica，60，1（1992）：77-105。

[2] 关于详细结果，见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes上的Technical Note 17。