31.2　均衡模型

均衡模型一般先对一些经济变量做假设，并推导出一个关于短期利率r的过程，然后再得出r对债券价格与期权价格的影响。

在单因子均衡模型中，r的过程仅仅涉及一种不确定性。短期利率风险中性过程通常由以下形式的伊藤过程来描述

其中瞬时漂移项m与瞬时标准差s均被假设成r的函数（但与时间无关）。在这里只有一个因子的假设并不像看起来那么局限。单因子的假设意味着在一个很短时间区间内，所有利率都向同一方向变动，但它们所变化的大小并不一定相同。因此，零息曲线的形状可以随时间的变化而变化。

在本节中，我们考虑以下三种单因子均衡模型

31.2.1　Rendleman和Bartter模型

在Rendleman和Bartter模型中，r的风险中性过程为^[1]

其中μ和σ均为常数。这意味着r服从几何布朗运动，r的过程与第15章里关于描述股票价格所假设的过程是同一类型，并且可以通过类似于在第13章里描述股票价格变动的二叉树来表示。^[2]

乍一看来，我们可能会很自然地假设利率与股票价格的变化规律一样，但这一假设并不理想。利率与股票价格的一个重要区别在于利率有被“拉回”到某个长期平均水平的趋势，这种现象被称为均值回归（mean reversion）。当r很高时，均值回归将会使其产生负的漂移；当r很低时，均值回归将会使其产生正的漂移。我们将均值回归现象展示在图31-1中。Rendleman和Bartter模型没有考虑均值回归的性质。

图31-1　均值回归

经济学中有很多令人信服的依据支持均值回归：当利率很高时，经济发展会缓慢下来，贷款发行人因为资金需求的降低而下调利率；但当利率很低时，资金需求会增大，因此贷款发行人会上调利率。

31.2.2　Vasicek模型

在Vasicek模型中，r的风险中性过程为

其中a、b和σ均为非负常数。^[3]这一模型考虑了均值回归性：短期利率以速度a被拉回到水平b。模型是在这一回归力之上附加了一个服从正态分布的随机变量σdz。

对于在时刻T支付1美元的零息债券，Vasicek证明了由式（31-2）可以得出这个债券在时刻t的价格为

在这个方程中，r（t）为r在时刻t的值，其中

和

当a=0时，B（t，T）=T－t，A（t，T）=exp［σ²（T－t）³/6］。

这个公式可以用以下方法得出。在微分方程式（31-5）中，设m=a（b－r）和s=σ，因此

假设方程解的形式是f=A（t，T）e^{－B（t，T）r}，带入微分方程后可以得到

和

其中下标表示导数。在式（31-7）和式（31-8）中的A（t，T）和B（t，T）是这两个方程的解。因为A（T，T）=1，B（T，T）=1，所以满足边界条件P（T，T）=1。

31.2.3　Cox，Ingersoll和Ross模型

Cox，Ingersoll和Ross（CIR）提出了另一种模型。^[4]在他们的模型中，r的过程为

与Vasicek模型一样，以上模型也具有均值回归性，但短期利率在一个很小时间区间内变化的标准差与成正比。这说明了当短期利率上涨时，其标准差也会增大。

在CIR模型中，债券价格具有与在Vasicek模型中一样的形式

但函数B（t，T）和A（t，T）具有以下不同的形式

和

其中。

这个公式可以用以下方法得出。在微分方程（31-5）中，设m=a（b－r）和，

与在Vasciek模型里一样，通过将f=A（t，T）e^{－B（t，T）r}带入微分方程，我们可以证明债券价格的公式。在这里A（t，T）和B（t，T）是以下方程的解

和

公式所给的价格满足边界条件P（T，T）=1。

31.2.4　Vasicek模型与CIR模型的性质

Vasicek模型与CIR模型里的函数A（t，T）和B（t，T）是不一样的，但在这两种模型里

因此

利用式（31-3）得出在时间t，期限为T－t的零息利率为

以上方程说明了一旦a，b和σ被选定后，整个期限结构可以由一个r（t）的函数来确定。利率R（t，T）与r（t）之间有线性关系。^[5]这说明了r（t）的值确定了在时间t期限结构的大小，但期限结构在时间t的形状却与r（t）无关，而与时间t有关。如图31-2所示，其形状可以是上升、下降或具有轻微的“驼峰”的形状。

图31-2　Vasicek模型下可能出现的期限结构

在第4章里我们看到，如果债券或其他依赖利率的产品价格为Q，其久期D是由

来定义的，其中ΔQ代表当收益率曲线平行移动很小的Δy值时，Q的变化数量。可以与Vasicek模型和CIR模型结合使用的另一种久期定义为

当Q为零息债券价格p（t，T）时，式（31-9）说明。

例31-1

考虑持续4年的零息债券。这时D=4，因此在期限结构上10个基点（0.1%）的平行移动会使债券价格大约下降0.4%。如果使用a=0.1的Vasicek模型，则有

这说明短期利率增长10个基点时会使债券价格大约下降0.33%。由于均值回归的作用，短期利率变化10个基点时对债券价格的影响比零息利率曲线平行移动10个基点的影响要小。

当Q是n个零息债券的组合时，对1≤i≤n，P（t，T_i）是第i个债券的价格，c_i是其面值，那么

其中是P（t，T_i）的。这说明在计算带息债券的时，我们将其视为组成这个债券的零息债券的加权平均，这与通常久期D的计算类似（见表4-6）。与久期类似，我们可以定义Vasicek模型与CIR模型下的曲率测度（见练习题31.22）。

由于P（t，T）是可交易证券的价格，其在传统风险中性世界里的增长率期望值为r（t）。因为债券价格P（t，T）是r（t）的函数，在P（t，T）过程中dz的系数可以通过伊藤引理来得到：在Vasicek模型里，在CIR模型里为。由式（31-9）可知P（t，T）在风险中性世界里的过程为

为了比较在给定r时由Vasicek模型与CIR模型所给出的利率期限结构，我们使用相同的常数a和b，但是在Vasicek模型里的σ应当大致等于CIR里的σ乘以，将Vasicek的σ记为σ_vas，CIR里的σ记为σ_cir。例如假设r为4%，σ_vas=0.01，σ_cir的值应当取成=0.05。Vasicek模型给出的零息债券收益率比CIR模型要低。用来试验对这些模型做实验的软件可以从www.rotman.utoronto.ca/~hull/VasicekCIR里下载。在Vasicek模型里r可能会出现负值，但在CIR模型里这是不可能的。（注：在CIR模型里，当利率接近于0时，利率变化的可能性变得很小。在所有情形下都不会出现负利率。当2ab≥σ²时，也不会有0利率。）

31.2.5　均衡模型的应用

在下一节里我们将会看到，对于衍生产品定价来讲，将所使用的模型与当前的利率期限结构相吻合是很重要的。但是，当为了做情形分析而在很长时间区间上进行蒙特卡罗模拟时，本节中讨论的均衡模型可能会是很有用处的工具。如果一个养老基金或保险公司只关心一个投资组合在20年以后的价值，那么利率期限结构是否可以和当前的利率期限结构吻合与组合在20年后的风险敞口不会有太大的关系。

一旦选取了我们所讨论的模型，一种处理方法是通过短期利率在过去的变化来确定参数（1个月期限和3个月期限的利率可以当作短期利率的近似）。搜集的数据可以是每天、每周或每月内短期利率的变化，确定参数的方法包括将r对Δr做线性回归（见例31-2）或利用极大似然估计（见练习题31.13）。另一种处理方法是收集债券价格，然后利用像Excel中Solver这样的工具来确定使得债券市场价格与相应模型价格之差的平方达到最小的a、b以及σ的参数值。这两种处理方式之间有很重要的区别。第1种方式（与历史数据吻合）提供的是在现实世界里的参数估计，而第2种方式（与债券价格吻合）提供的是在风险中性世界里的参数估计。在进行情形分析时，我们感兴趣的是描述短期利率在现实世界里变化的模型。但是，在蒙特卡罗模拟时间里的每一时刻上，我们往往希望能够知道完整的利率期限结构。因此，我们需要在风险中性世界里的参数值。

当我们从现实世界转换到风险中性世界时，短期利率的波动率不会改变，但漂移项则会变化。为了确定漂移项的变化，我们需要估计利率风险的市场价格。Ahmad和Wilmott的方法是比较零息收益率曲线的斜率与短期利率在现实世界里的漂移项。^[6]他们对美国利率的利率风险市场价格长期平均值的估计大约为-1.2。在不同时间上，他们估计的利率风险市场价格变化很大。在市场疲软的情况下，“恐惧因素”会很高（比如在2007~2009年的信贷危机），这时的利率风险市场价格是比-1.2大得多的负数。

例31-2

假设Vasicek模型的离散形式

被用来吻合短期利率在10年中的每周数据，目的是为了进行蒙特卡罗模拟。模型的参数可以通过将Δr对r做回归来估计。当将Δr对r做回归时，斜率是-0.004，截距为0.00016，估计的标准差为0.001。这时，，于是这说明a=0.21，b=0.04和σ=0.0072（这些参数说明短期利率以21%的速度回归到4.0%。在任何时间，短期利率的波动率为0.72%除以短期利率）。然后可以在现实世界里模拟短期利率。

为了确定r的风险中性过程，注意r的比例整长率是a（b-r）/r，波动率为σ/r。由第28章的结果我们知道在从现实世界变成险中性世界时，比例漂移项减少λσ/r，其中λ是利率风险的市场价值。因此在风险中性世界里，r的过程是

或

其中

利用Ahmad和Wilmott的结果，我们可以令λ=－1.2，因此b=0.04+1.2×0.0072/0.21=0.082。在蒙特卡罗模拟的任何时刻，都可以利用式（31-6）~式（31-8）（b=b）来确定完整的利率期限结构。

例31-3

利用CIR模型

的解析结果可以对任何期限的债券定价。假定使得一组债券的市场价格与模型给出价格的差取得最小的优化参数为a=0.15，b=0.06和σ=0.05。这些参数值给出了短期利率与市场价格最佳吻合的风险中性过程。在这里，短期利率的比例漂移项为a（b－r）/r，短期利率的波动率为。由第28章可知，当我们从风险中性世界转换到现实世界时，比例漂移项会增加，其中λ为利率风险市场价格。因此，在现实世界里r的过程为

这个过程可以用来对现实世界的短期利率过程进行模拟。（注：对于CIR模型，当在现实世界与风险中性世界里互相转换时，比较方便的假设是λ与或成比例，因为这样可以保持漂移项的函数形式。）在任何时刻，利用风险中性过程与解析结果可以得出长期利率。与前面相同，我们可以令λ=－1.2。

[1] 见R.Rendleman and B.Bartter，“The Pricing of Options on Debt Securities，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，15（March 1980）：11-24。

[2] 我们将在本章后面解释利率树形的使用方法。

[3] 见O.A.Vasicek，“An Equilibrium Characterization of the Term Structure，”Journal of Financial Economics，5（1977）：177-88。

[4] 见J.C.Cox，J.E.Ingersoll，and S.A.Ross，“A Theory of the Term Structure of Interest Rates，”Econometrica，53（1985）：385-407。

[5] 一些研究人员已经提出了两因子平衡性模型。相对Vasicek模型与CIR模型来讲，这种两个因子的模型能够给出更丰富的期限结构形状。例如，见F.A.Longstaff and E.Schwartz，“Interest Rate Volatility and the Term Structure：A two Factor General Equilibrium Model，”Journal of Finance，47，4（September 1992），1259-82。

[6] 见R.Ahmad and P.Wilmott，“The Market Price of Interest-Rate Risk：Measuring and Modeling Fear and Greed in the Fixed-Income Markets，”Wilmott，January 2007，60-74。