作业题

31.23　构造参数σ=0.02的Ho-Lee模型三叉树。假设在初始时对应于期限为0.5，1.0和1.5年的零息利率分别为7.5%、8%和8.5%。采用步长为6个月的两步树形来计算本金为100美元、在树的最后节点仍有6个月期限的零息债券价格。利用树形来计算在这个债券上1年期、执行价格为95的欧式看跌期权价格。将你在树上所得价格与DerivaGem的解析价格进行比较。

31.24　一位交易员想要计算一个本金为100美元、5年期债券上期限为1年的美式看涨期权价格。债券支付的券息为6%，每半年支付一次，期权执行价格（报价）为100美元。6个月、1年、2年、3年、4年和5年的连续复利零息利率分别为4.5%、5%、5.5%、5.8%、6.1%和6.3%。对正态模型和对数正态模型所估计的最优拟合回归率均为5%。

该债券上1年期、执行价格为100（报价）的欧式看涨期权交易很活跃，市场价格为0.50美元。交易员决定利用这个价格对模型进行校正。利用DerivaGem和10步三叉树来回答下列问题：

（a）假设正态模型，计算欧式期权所隐含的σ。

（b）当期权为美式期权时，利用参数σ来计算其价格。

（c）假设对数正态模型，重复（a）和（b）。说明当用已知的欧式期权价格来做校正时，采用不同模型对价格并没有太大的影响。

（d）对于正态情形，显示树形并计算发生负利率的概率。

（e）对于对数正态情形，显示树形并验证节点i=9和j=－1（31.7节里的记号）上期权价格的正确性。

31.25　利用DerivaGem计算1×4，2×3，3×2和4×1欧式互换期权的价格。互换为收取浮动利率，支付固定利率。假定1年、2年、3年、4年和5年的利率分别为3%、3.5%、3.8%、4.0%和4.1%。互换的支付频率半年，固定利率为每年4%，按半年复利。利用对数正态模型，a=5%、σ=15%和50步的三叉树，计算在每个期权中由布莱克模型所隐含的波动率。

31.26　验证DerivaGem软件对所考虑例子所给出的图31-11。利用该软件，对正态和对数正态模型计算执行价格为95美元、100美元和105美元的美式债券期权价格。当使用正态模型时，假设a=5%和σ=1%。以第20章给出的关于肥尾分布的角度，讨论所得结果。

31.27　将DerivaGem软件里应用工具（Application Builder）的样本应用G加以修改来验证三叉树价格的收敛性。采用三叉树计算一个5年期、本金为100美元的债券上2年期看涨期权的价格。假设执行价格为100美元（报价），券息为7%，每年支付2次。假设零息曲线如表31-2所示，对以下情形进行比较：

（a）期权为欧式，正态模型，σ=0.01和a=0.05；

（b）期权为欧式，对数正态模型，σ=0.15和a=0.05；

（c）期权为美式，正态模型，σ=0.01和a=0.05；

（d）期权为美式，对数正态模型，σ=0.15和a=0.05。

31.28　假设在风险中性世界里短期利率r的（CIR）过程为

而且利率风险的市场价格为λ。

（a）r在现实世界里的过程是什么？

（b）10年期零息债券在风险中性世界里的回报期望与波动率是什么？

（c）10年期零息债券在现实世界里的回报期望与波动率是什么？