附录14A　伊藤引理的推导

在这个附录中我们将说明如何将伊藤引理看成一些简单结论的推广。考虑一个连续可微的x的函数G。如果x很小的变化为Δx，相应G的变化为ΔG，微积分里的一个著名结论是

换句话讲，ΔG大约等于G对x的导数乘以Δx。误差项包括高阶项Δx²。如果需要更精确的表达式，我们可以运用ΔG的泰勒展开式

如果连续可导函数G有两个变量x和y，那么与式（14A-1）类似的结果为

相应的泰勒展开式为

当Δx和Δy趋于0时，式（14A-3）变为

我们现在将式（14A-4）推广到适用于伊藤过程的情形。假定变量x满足伊藤过程

G是x和t的函数。与式（14A-3）类似，我们可以得出

将式（14A-5）离散化，得

省略函数的变量时，以上方程可以写成

这一方程显示了式（14A-6）与式（14A-3）之间所存在的一个重要差别。当对式（14A-3）取极限而将其转换为式（14A-4）时，由于Δx²项是2阶项，我们可以忽略这一项。由式（14A-7）出发，我们得出

以上方程说明式（14A-6）中的Δx²项包含Δt项，因此这一项是不能忽略的。

标准正态分布的方差为1.0。这意味着

其中E表示期望值。由于E（ε）=0，所以E（ε²）=1。因此ε²Δt的期望值为Δt。由标准正态分布的性质可知ε²Δt的方差为2Δt²。我们知道随机变量在时间Δt内的方差与Δt（而不是Δt²）成正比。因此，当Δt趋于0时，我们可以将ε²Δt视为非随机项，并等于其期望值，因此式（14A-8）中的Δx²在当Δt趋于0时为非随机项，并等于b²dt。对式（14A-6）中取极限，并应用以上结果，我们得出

以上方程就是伊藤引理。将式（14A-5）中的dx代入式（14A-9），我们得出

在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 29给出了有关伊藤引理推广的证明。当G是变量x₁，x₂，…，x_n的函数，而且

我们有

当G是一个具有多项不确定来源的变量x的函数时

我们有

在这些式子里，ρ_ij是与之间的相关系数（见14.5节）。