35.2　风险中性定价的推广

在28.1节里，我们定义一个变量θ的风险市场价格为

其中r是无风险利率，μ是仅依赖于θ的可交易证券收益率，σ是它的波动率。如第28.1节所示，对任何仅依赖于θ的可交易证券都会得到同样的风险市场价格λ。

假设某个实物资产依赖于一些变量θ_i（i=1，2，…）。令m_i和s_i分别为θ_i的增长率期望和波动率，于是

其中z_i是一个维纳过程。定义θ_i的风险市场价格为λ_i。可以通过推广风险中性定价原理来证明对任何依赖于θ_i的资产，我们都可以利用如下方式来定价（注：为了说明与风险中性定价的一致性，假定θ_i为一个无股息股票，因为θ_i为交易证券，式（35-1）意味着（m_i－r）/s_i=λ_i，或m_i－λ_is_i=r。因此，对增长率期望的调整等价于将股票收益设定为无风险利率。关于一个更为一般结果的证明，见www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note20。）

（1）将每个θ_i的预期增长率从m_i降到m_i－λ_is_i；

（2）用无风险利率对现金流进行贴现。

例35-1

在某个城市里，租用商品房产的费用是按新签署的5年租用合同中每平方英尺每年所付款项来报价的。目前，每平方英尺的费用为30美元。费用的增长率期望为每年12%，波动率为每年20%，它的风险市场价格为0.3。某公司面临如下机会：它可以现在付100万美元而有权在2年后按每平方英尺35美元的费用租用100000平方英尺，租期为5年。无风险利率是每年5%（假定是常数）。定义V为两年后所报出的每平方英尺写字楼空间的费用。为简化运算，我们假设每年都是预先交付租金。期权的收益是

其中A是由下面式子所给出的摊还因子

因此在风险中性世界里收益的期望值为

其中表示在风险中性世界里的期望。利用式（15A-1），我们得出以上表达式等价于

其中

在风险中性世界里，商业房产费用的增长率期望是m－λs，其中m是现实世界里的增长率，s是波动率，λ是风险市场价格。在这里，m=0.12，s=0.2和λ=0.3，于是风险中性增长率期望是0.06，或每年6%，因此（V）=30e^0.06×2=33.82。将此带入上面表达式中，我们即可得到在风险中性世界里收益的期望值是150.15万美元。以无风险利率贴现后，期权的价值为150.15e^－0.05×2=135.86万美元，这说明为这个期权支付100万美元是划算的。