31.6　利率树形

利率树形是短期利率随机过程在离散时间下的表现形式，这与股票价格树形是对于股票价格所服从过程在离散时间下的表现形式基本是一样的。假如树形的时间步长为Δt，那么树形上的利率是Δt时间段按连续复利的利率。在构造树形时，通常的假设是Δt时间段上的利率R所服从的随机过程与相应瞬时利率r在连续时间下的随机过程是一样的。利率树形与股票树形的主要区别在于贴现的方式：在股票价格树上，一般的假设是贴现率在每个节点上都是一样的（或为时间的函数），但在利率树形上，贴现率在不同节点上的值是不相同的。

我们常常会发现对利率而言，使用三叉树比二叉树更为方便。三叉树的主要优点是它为用户多提供了一项自由度，这样，利率过程的特点比如均值回归可以更方便地被表达出来。如21.8节所述，三叉树方法等价于显式有限差分法。

31.6.1　三叉树应用例解

我们考虑由图31-6所表示的一个简单例子来说明如何使用三叉树对利率衍生产品定价，这里的三叉树是一个2步树形，步长为1年，即Δt=1。假设在每个节点上，向上、保持不变、向下的概率分别为0.25、0.5、0.25。所假设的Δt时间段利率显示在节点上方。^[1]

图31-6　利率三叉树的使用。节点上方数值为利率，下方数值为衍生产品的价格

我们将利用以上树形来计算一个在第2年年末提供收益为

的衍生产品价值，其中R为Δt时间段利率。计算出的衍生产品价值显示在节点下方。在最后一步的节点上，衍生产品的价格等于其收益。例如，在节点E上，衍生产品价值为100×（0.14-0.11）=3，在前面的节点上，衍生产品价值是通过第13章和第21章里所描述的反向递推方式计算得出的。在节点B上，1年期利率为12%，它将用于贴现计算。由节点E、F和G上的值，我们可以求得衍生产品在节点B的值为

在节点C上，1年期利率为10%，由此可以得出衍生产品在节点C上的值为

在初始节点A上，利率也是10%，因此衍生产品价值为

31.6.2　非标准树枝

我们发现有时对图31-6中的标准树枝形状加以修改后会使得树形更易于使用。图31-7展示了3种不同形式。通常的树枝形状显示在图31-7a中，其形状为“上升一格/平行/下降一格”；图31-7b所示的树枝形状为“上升两格/上升一格/平行”，这种形状在考虑均值回归而且利率很低时会用到；图31-7c所示的第3种树枝形状为“平行/下降一格/下降两格”。这种形状在考虑均值回归而且利率很高时会用到。在下一节里，我们将讨论如何使用这些不同的树枝形状来建立树形。

图31-7　三叉树中的不同树枝形状

[1] 在后面我们将解释利率树形上的利率和概率的确定方式。