29.3　欧式利率互换期权

利率互换期权（swap option，swaption）是利率互换上的期权产品。这些产品给持有者一个在将来某个时刻进入约定的利率互换的权利（当然，持有者并不是一定要行使这个权利）。许多向企业提供利率互换合约的大型金融机构也随时准备向其客户出售或购买利率互换期权。如业界事例29-2所示，利率互换期权也可以被看成是一种债券期权。

业界事例29-2　互换期权与债券期权

如第7章所示，一个利率互换可以被看成将定息债券与浮息债券相交换的合约。在互换开始时，浮息债券的价值总是等于其面值。由此可见，我们可以将互换期权看成是由定息债券与面值相交换的期权，也就是说这是一种债券期权。

如果互换期权给予持有者支付定息而收入浮动利息的权利，那么它是一个定息债券上的看跌期权，期权的执行价格等于面值。如果互换期权给予持有者支付浮动息而收入固定利息的权利，那么它是一个定息债券上的看涨期权，期权的执行价格等于面值。

为了说明互换期权的应用方式，考虑以下例子：某企业已知在6个月后要签订一项5年期的浮动利率贷款，企业希望通过利率互换将浮动利息转为固定利息，这样企业可以将贷款转为固定利息贷款（见第7章里关于如何以这种方式使用互换产品的讨论）。支付一定的费用，企业可以买入互换期权，这一期权给予企业进入收取6个月LIBOR利率并同时付出固定利率（例如年利率为3%）的互换权利，互换在6个月后开始，持续5年。如果6个月后5年期的普通互换利率低于3%，公司将选择不行使期权，而以常规的形式进入互换交易。但是，如果互换利率高于每年3%，公司将通过行使互换期权来进入互换交易，在互换交易中公司所付出的固定利率要低于市场上的互换利率。

当以上述形式应用互换期权时，互换期权给企业提供了保护，它使得企业避免了由于借入资金的利率上涨而带来的风险。互换期权是远期互换（有时也被称为延迟互换（deferred swaps））的一种替代品，远期互换无须事先支付费用，但其不利之处在于企业一定要履行互换合约的义务。而互换期权可使得企业在利率向有利方向变动时能够得到收益，而同时在利率向不利方向变动时得到保护。互换期权与远期互换的区别类似于外汇期权与外汇远期合约的区别。

29.3.1　欧式互换期权的定价

如第7章中所述，在某一时刻，对应于一个特定期限的互换利率是指当新签定一个具有同一期限并与LIBOR利率进行互换时的固定利率（利率中间价）。在互换期权定价的模型中，通常假定互换利率在期权到期日服从对数正态分布。考虑以下互换期权：我们有权在T年后进入为期n年的互换交易，在互换中我们付出的利率为s_K，同时收入LIBOR利率。我们假设互换的名义本金为L，每年支付m次。

在第7章中我们曾指出，由于计量天数惯例的原因，在每一个利率付款日，固定利息的付款量可能会稍有不同。现在我们首先忽略计量天数惯例的影响，并假定在每一笔定息付款均为固定利率乘以L/m。在本节的最后我们将讨论计量天数惯例的影响。

假定在T时刻开始并持续n年的互换利率为s_T。将固定利率为s_T的互换现金流与固定利率为s_K的现金流进行比较，可以看出该互换期权的收益是由以下一系列现金流组成

在互换有效期的n年内，每年收入m次现金流。假设互换付款的日期为T₁，T₂，…，T_mn，时间计算从今天开始，以年为单位（T_i近似等于T+i/m）。每个现金流是执行价格为s_K，标的变量为s_T的看涨期权收益。

利率上限是关于利率的期权组合，而互换期权则是在一个具有重复付款的互换率上的期权。标准市场模型给出的有权支付固定利率s_K的互换期权价格为

其中

其中s₀为由式（28-23）给出的在0时刻的远期互换利率，σ为远期互换利率的波动率（为lns_T的标准差）。

以上模型是布莱克模型的自然推广，波动率被相乘，是对于mn个收益的贴现因子。定义A为在T_i时刻支付1/m（1≤i≤mn）数量现金合约的价值，那么期权价格变为

其中

如果互换期权持有者有权收取s_K（而不是付出s_K），这时互换期权的收益为

这是s_T上的看跌期权。同以前一样，获得收益的时间为T_i（1≤i≤mn）。标准市场模型给出这一互换期权的价值为

例29-4

假定LIBOR收益率曲线形状（假设用来贴现）为水平，年利率为6%（连续复利）。考虑以下互换期权，持有者具有在5年后开始一个3年期利率互换的权利。在互换中，期权持有人支付6.2%的固定利率，远期互换利率的波动率为20%。每半年付款一次，本金为1亿美元。这时

按连续复利的利率6%等价于每半年复利一次的利率6.09%。在这个例子中，s₀=0.0609，s_K=0.062，T=5，σ=0.20，因此

由式（29-10）得出的互换期权价值为（以百万计）

即2.07（百万美元）（这与DerivaGem计算出的价格一致）。

29.3.2　经纪人的报价方式

市场经纪人会提供欧式互换期权的隐含波动率（即利用式（29-10）和式（29-11），由市场价格隐含出的波动率σ）。隐含波动率所对应的产品通常为平值期权。这意味着互换期权执行价格等于远期互换利率。表29-2展示了在美元市场中经纪人报价的典型数据。期权的期限列在竖轴上，期限从1个月到5年不等。标的互换的期限被列在横轴上，期限的长度从1年到10年不等。表中对应1年期限的波动率与上限相似，也显示了以前所述的驼峰现象。其他长期互换上的期权也会显示驼峰现象，但隆起的幅度变得要小一些。

表29-2　经纪人提供的美元互换期权波动率数据　（市场中间价，每年%）

29.3.3　模型的理论根据

通过考虑对于年金（annuity）A为远期中性的世界，我们可以证明关于互换期权的布莱克模型是内在一致的。28.4节中的分析证明了：

（1）任何一个证券的价值都等于年金的当前价格乘以

在这个世界里的期望值（见式（28-25））。

（2）时间T时的互换利率在这个世界里的期望值等于远期互换利率（见式（28-24））。

第1个结果说明互换期权的价值为

利用第15章附录的结果，以上式子等于

其中

第2个结果表明E_A（s_T）等于s₀（当以LIBOR贴现时，由式（28-24）可以得出这个结果。在29.4节里我们将证明只要确定远期互换利率的方式与OIS贴现一致，这个结果仍然成立）。结合这些结果，我们就可以得出式（29-10）中的互换期权定价公式。这说明了当我们将互换利率的期望值设定为远期互换利率时，为了贴现的目的，我们可以将利率视为常数。

29.3.4　计量天数惯例的影响

为了使以上公式更为精确，我们可以考虑计量天数惯例的影响。互换期权里标的互换合约的固定利率是按类似于“实际天数/365”或“30/360”这样的计量天数惯例来表示的。假设T=T₀，而且在选定的计量天数惯例下，从时间T_i－1到T_i的计利时段为a_i（例如，如果T_i－1对应于3月1日，而T_i对应于9月1日，假定计量天数惯例为“实际天数/365”，那么a_i=184/365=0.5041）。将年金因子A定义为

上式仍然成立。当以LIBOR贴现时，远期互换利率可以按式（28-23）计算。