34.4　商品价格模型

为了对衍生产品定价，我们常常希望在传统风险中性世界里对商品的即期价格建立模型。由18.7节我们知道，在这个世界里商品价格在将来的期望值等于其期货价格。

34.4.1　简单过程

我们可以用以下方式对商品价格建立一种简单模型。假设商品价格增长率的期望仅依赖于时间，而且商品价格的波动率是常数，那么商品价格的风险中性过程为

而且我们有

其中F（t）是期限为t的期货合约价格，表示在风险中性世界里的期望。于是

对两边关于时间求导数将会得到

例34-1

假设在2014年7月末，活牛期货价格如下（每磅所值美分）

我们可以利用这些期货价格来估计活牛价格在风险中性世界里的增长率。例如，当使用式（34-1）所示的模型时，在风险中性世界里活牛价格在2014年10月与12月之间的增长率为

或每两个月为3.4%，按连续复利。当按年计算时，这相当于每年20.4%。

例34-2

假设活牛期货价格如例34-1所示。一项养殖决策需要现在投资10万美元，而且在第3个月、第6个月和第9个月后各需要费用支出2万美元。投资的效果是在年底能有额外的牛群可以出售。这里的不确定性来源主要有两项：能够用于出售的额外牛群磅数和每磅活牛的价格。牛群磅数的期望值是30万。从例34-1中我们知道在风险中性世界里，1年后活牛价格的期望值是每磅64.40美分，假设无风险利率是每年10%，这项投资的价值为（按千美元计）

在这里我们假定了可以销售的额外牛群的不确定性具有零系统风险，而且可以销售的额外牛群磅数与价格之间没有相关。

34.4.2　均值回归

我们已经介绍过，大多数商品价格服从均值回归过程，价格有被拉回到中心价值的倾向。在描述商品价格S所服从的风险中性过程时，比式（34-1）更接近实际的过程是

这种过程包含了均值回归，而且与第31章中对短期利率所假设的过程是类似的。这个过程有时也被写成

由伊藤公式可知这与式（34-2）的过程是等价的，其中θ^*（t）=θ（t）+σ²/2。

第31.7节中的三叉树方法可以用来构造S的树形，并且由此来确定式（34-2）中使得F（t）=［S（t）］的θ（t）值。我们将通过建立关于商品价格的3步树形来展示这个构造过程。假设目前商品价格是20美元，而且1年、2年和3年的期货价格分别是22美元、23美元和24美元。假设在式（34-2）中a=0.1，σ=0.2。我们首先定义初始值为零，并且服从如下过程的变量X

利用31.7节中的程序，我们可以构造X的三叉树，树形显示在图34-1中。

图34-1　X的树形。构造该树是建立即期商品价格S树形的第一步，这里p_u、p_m和p_d是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率

变量lnS服从与X同样的过程，只是它具有依赖时间的漂移项。与第31.7节相似，通过变动节点的位置，我们可以将X的树形转换成关于lnS的树形，所得结果展示在图34-2中。最初的节点对应于目前的商品价格20，因此节点的变动是ln20。假设在1年时间节点上的变动为α₁。X在1年时3个节点上的值是+0.3464，0和-0.3464。所以相应的lnS值是0.3464+α₁，α₁和α₁-0.3464。因此S的值分别是，和。我们需要令S的期望值等于期货价格。这意味着

方程的解是α₁=3.071。这说明S在一年时点上的值分别为30.49，21.56和15.25。

图34-2　即期商品价格S的树形：p_u，p_m和p_d是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率

在2年的时间点上，我们首先通过到达节点B、C和D的概率来计算到达节点E、F、G、H和I的概率。到达节点F的概率等于到达节点B的概率乘以从B到达F的概率，再加上到达节点C的概率乘以从C到达F的概率，即

与此类似，到达节点E、G、H和I的概率分别是0.0203，0.5183，0.2206和0.0203。在2年的时间点上，节点被变动的数量α₂必须满足

它的解α₂=3.099。这说明S在2年时的值分别为44.35、31.37、22.18、15.69和11.10。

在第3年时，我们可以做类似的计算。图34-2展示了所计算出的S树形。

例34-3

假如我们利用图34-2中的树形对即期商品价格上的3年期美式看跌期权定价，执行价格为20，利率为每年3%（连续复利）。在树形上以通常的方式向后计算，我们得到图34-3，期权的价值是1.48美元。在节点D，H和I上，期权会被提前行使。如果需要更精确的值，我们可以利用更多步数的树形。在更多步数的树形上，我们可以通过对期货价格进行插值来得到对应于树形上每一步的期货价格。

图34-3　利用图34-2中树形对执行价格为20美元的欧式看跌期权定价

34.4.3　插值与季节性

当使用许多步数的树形时，我们需要在期货价格之间进行插值来得到相对于每一步末的期货价格。当价格呈现季节性时，插值的方式应当反映这种特点。假设我们需要的时间步长等于一个月，兼容季节性的一种简单做法是收集每月的即期价格历史数据，并计算价格的12月移动平均。然后可以计算一个季节性因素百分比（percentage seasonal factor），这个值等于1个月内即期价格与以该月为中心的12个月即期价格的移动平均之比的平均值。

然后季节性因素百分比可以用来消除已知期货价格中的季节性。每个月消除季节性后的期货价格可以利用插值来得到。然后再利用季节性因素百分比将季节性加回到这些期货价格里，并且由此建立树形。例如，假设在市场上观察的9月份与12月份期货价格分别为40和44，我们需要计算10月份与11月份的期货价格。我们进一步假设由历史数据计算出的9月份、10月份、11月份和12月份的季节性因素百分比分别为0.95、0.85、0.8和1.1。消除季节性后的期货价格为：9月份40/0.95=42.1和12月份44/1.1=40。由插值得到的10月份与11月份消除季节性后的期货价格分别为41.4与40.7。在构造树形时所用的是10月份与11月份加上季节性后的期货价格，它们分别为41.4×0.85=35.2和40.7×0.8=32.6。

像我们讲过的那样，有时商品价格的波动会呈现季节性。例如，由于气候的不确定性，某些农产品价格在作物生长季节波动性较大。我们可以利用第23章里所讨论的方法来监测波动率，并且估算波动率的季节性因素百分百，从而在式（34-2）与式（34-3）里我们可以将参数σ换成σ（t）。当波动率是时间函数时，对其构造三叉树形的步骤在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes中的Technical Note9和16里有详细讨论。

34.4.4　跳跃

由于与气候相关的需求冲击，有些商品的价格（比如像电力和天然气）显示跳跃的特征。而另外一些商品（尤其是农产品），由于和气候有关的供应冲击，价格也往往会显示跳跃。我们可以在式（34-2）中引入跳跃项，那么即期价格所服从的过程变成了

其中dp是生成百分比跳跃的泊松过程（Poisson process）。这与在27.1节里描述股票价格的默顿混合跳跃-扩散模型相似。一旦跳跃频率与跳跃大小的概率分布被选定后，我们可以计算在将来时间t由于跳跃所引起的商品价格平均增长幅度。为了确定θ（t），在到期日为t的期货价格中减去这个增长量之后，我们可以利用三叉树方法。如21.6节与27.1节所述，蒙特卡罗模拟法可以用来实现这种模型。

34.4.5　其他模型

有时人们使用更加复杂的模型来描述原油价格。如果y表示方便收益率，那么即期价格的比例漂移项为r－y，其中r为短期无风险利率，描述即期价格过程的一种很自然的选择是

Gibson和Schwartz建议将方便收益率作为一个具有均值回归性质的过程^[1]

其中k和α为常数，dz₂和dz₁是相关的维纳过程。为了能够与期货价格达到完全匹配，我们假定α是时间t的函数。

对于天然气与电力价格，Eydeland和Geman提出了如下形式的随机波动率模型^[2]

其中a、b、c、d和e均为常数，dz₂和dz₁是相关的维纳过程。在假定b也是随机时，Geman用这种过程来描述原油的价格。^[3]

[1] 见R.Gibson and E.S.Schwartz，“Stochastic Convenience Yield and the Pricing of Oil Contingent Claims，”Journal of Finance，45（1990）：959-76。

[2] A.Eydeland and H.Geman，“Pricing Power Derivatives，”Risk，September 1998。

[3] H.Geman，“Scarcity and Price Volatility in Oil Markets，”EDF Trading Technical Report，2000.