32.3　对多种零息曲线的处理方法

在第29章、第31章以及本章目前为止所考虑的模型中，我们都是假设只需要一条利率曲线来对利率衍生产品定价。在2007年开始的信用危机之前，在实际中大部分也确实是这样做的：对于许多衍生产品定价时计算收益与贴现因子所用的都是LIBOR/互换零息曲线。如第9章所述，目前通常是利用OIS零息曲线作为无风险零息曲线进行贴现（至少对抵押产品定价时是这样做的）。这说明对于像互换、利率上/下限以及互换期权定价时，我们需要考虑多条利率曲线，原因是这些产品的收益都依赖于LIBOR利率，所以我们需要利用LIBOR零息曲线来计算收益，而利用OIS零息曲线进行贴现。

如果我们同时对OIS零息曲线与LIBOR/互换零息曲线建立模型，并且假设银行可以无风险地按任何一条利率曲线所得利率进行借贷（到目前为止我们一直是这样假定的），那么不可避免地将在金融市场上存在套利机会：银行可以按OIS借款，然后按LIBOR利率贷给别人而锁定盈利。一种替代方法是建立能够解释信用风险与流动性风险的模型，并以此模型解释OIS利率与LIBOR利率之间的区别，但不幸的是这种方法非常复杂，因此很难用在实际中。由于这些原因，许多从业人员决定在不明确地考虑违约风险与流动性风险的前提下对LIBOR利率与OIS利率分别建模，并且忽略了由于使用多条零息曲线所产生的套利机会。

我们可以认为只有一条LIBOR曲线。假设知道了LIBOR的短期利率，那么如第31章所述，整条LIBOR零息曲线即为已知。在金融危机之前，这种假设比较合理。如9.3节所述，在金融危机之后，从业人员常常从依赖1个月、3个月、6个月以及12个月LIBOR利率的产品来分别计算零息曲线，而且这些曲线并不相同。^[1]这说明交易LIBOR的衍生产品从业人员同时使用了至少5条零息曲线。

从原理上讲可以直截了当地对OIS零息曲线建立模型：可以利用第31章里的短期利率模型，或者利用本章所讨论的HLM/LMM方法（“LIBOR市场模型”成为“OIS市场模型”）。在9.3节里我们解释过以OIS贴现所计算的远期LIBOR利率与以LIBOR贴现所计算的远期LIBOR利率是不同的。这一点非常重要，却在实际应用中往往被忽视。定义F_LD（t，t₁，t₂）为在时间t介于t₁与t₂之间以LIBOR贴现的远期LIBOR利率，而F_OD（t，t₁，t₂）为相应以OIS贴现的远期利率。例9-2与例9-3演示了如何从LIBOR-对固定利率互换报价中以息票剥离法的方式计算F_LD（t，t₁，t₂）和F_OD（t，t₁，t₂）。定义P_LD（t，T）为时间t、期限为T并以LIBOR贴现的零息债券价格，P_OD（t，T）为相应以OIS利率贴现的价格。由28.4节中结果可知，在关于P_LD（t，t₂）为远期风险中性的世界里，F_LD（t，t₁，t₂）是个鞅，因此等于在t₁与t₂之间LIBOR利率的期望值。以前对以LIBOR贴现的上限单元定价时，我们利用了这个结果。然而一般来讲，在对P_OD（t，T）为风险中性的世界里，F_LD（t，t₁，t₂）并不是个鞅。当考虑以OIS贴现时我们应当使用的是F_OD（t，t₁，t₂），而不是F_LD（t，t₁，t₂）。这是因为在关于P_OD（t，T）为风险中性的世界里，F_OD（t，t₁，t₂）为鞅，因此等于在这个世界里介于t₁与t₂之间的LIBOR利率期望值。

在第9章中我们曾解释过，在对以OIS贴现的互换合约定价时，我们假设远期利率F_OD（t，t₁，t₂）为所实现的利率，并且以OIS利率贴现。在对上限与上限单元定价时，我们可以利用式（29-7）与式（29-8）。但是如29.4节所述，在定义适当变量时需要非常小心。这些方程中的F_k是F_OD（t，t_k，t_K+1），P（0，t_k+1）是这里的P_OD（0，t_k+1），通常由市场价格蕴含的波动率依赖于使用的是LIBOR利率还是OIS利率。

我们可以按类似的方式对以OIS贴现的互换期权定价。在利用式（29-10）与式（29-11）时，我们定义

并且以F_OD利率（而不是F_LD利率）来计算远期互换利率。蕴含波动率仍然依赖于使用的贴现率是LIBOR还是OIS。

在软件DerivaGem 3.00里，既可以对按LIBOR贴现也可以对按OIS贴现的互换、上/下限以及互换期权进行定价。

在对更复杂的产品定价时，常常需要同时建立LIBOR和OIS零息曲线的模型。一些研究人员认为这是可行的：一种做法先对两种曲线分别建立模型，比如假设LIBOR和OIS短期利率服从具有相关性的随机过程。这样做的缺点是有时OIS利率会高于LIBOR利率。一种比较好的方法是利用第31章里的短期利率模型或本章里的HJM/LMM模型来刻画OIS利率，而LIBOR高于OIS的利差期限结构可以用非负的变量来描述，比如最简单的方法是假设利差等于远期利差。对于随机利差模型，我们知道在关于P_OD（t，t_i+1）为风险中性的世界里，远期LIBOR利率F_OD（t，t_i，t_i+1）是鞅，同时远期OIS远期利率也是鞅，因此在这个世界里，利差（两者之差）也是个鞅。

描述远期利差时，我们可以使用类似于式（32-10）与式（32-15）中含有一个或多个因子的远期利率模型

其中为了简化记号，F_k（t）为时间t所观察介于t_k与t_k+1之间的远期利差，ξ_k，q为这个利差波动率的第q个成分。32.2节中用来计算利率服从过程的所有结果都可以用到利差上。

[1] 关于这方面的讨论以及之间的区别，参见M.Bianchetti，“Two Curves，One Price，”Risk，23，8（August，2008）：66-72。多条LIBOR零息曲线的使用反映了信用风险：12个月期限的LIBOR贷款比12份一个月期限的LIBOR贷款风险更大。