附录30A　曲率调整公式的证明

在这个附录里，我们计算关于远期债券收益率的曲率调整值。假设一个衍生产品在时间T的收益依赖于当时所观察到的某个债券的收益率。定义：

y₀：今天所观察到在时间T到期的远期合约中的远期债券收益率；

y_T：时间T的债券收益率；

B_T：时间T的债券价格；

σ_y：远期债券收益率的波动率。

我们假设

将G（y_T）在y_T=y₀按泰勒级数展开，我们可以得到以下近似式

其中G′和G″分别为函数G的一阶和二阶偏导数。在一个对时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界里取期望值，我们得出

其中E_T表示这个世界里的期望。由定义可以得出，G（y₀）等于远期债券价格，并且在我们设定的特殊世界里，E_T（B_T）等于远期债券价格，E_T（B_T）=G（y₀），因此

表达式E_T（y_T－y₀）²近似地等于。因此以下等式近似成立

这说明了，如果我们想得到债券收益率在一个对时间T到期的零息债券为远期风险中性世界里的期望值，我们应当给远期债券收益率加上以下数量

这正是式（30-1）中的结果。通过练习题30.6，我们可以得到关于这一结果的另外一种证明方法。