5.7　对远期合约定价

在刚刚进入远期合约时，其价值为0。但在进入合约之后，远期合约价值可能为正也可能为负。对银行或其他金融机构来讲，每天计算这些合约的价值是非常重要的（这叫对合约按市场定价）。采用前面引入的符号，假设K是以前成交的合约的交割价格，合约的交割日期是在从今日起T年之后，r是期限为T年的无风险利率，变量F₀表示目前的远期价格，即假如在今天成交的话，合约的交割价格。我们还定义f为远期合约今天的价值。

清楚地理解变量F₀、K和f的含义是非常重要的。如果今天正好是合约的最初成交日，那么交割价格K等于远期价格F₀，而且合约的价值f是0。随着时间的推移，K保持不变（因为它已经被合约确定），但远期价格F₀将会变动，而且远期合约的价值f可以变成或正或负。

对于远期合约的多头方（投资资产和消费资产），合约的价值是

为了说明式（5-4）是正确的，我们采用类似于4.7节里关于远期利率合约价格的证明方式。我们用以下形式构造一个组合：（a）以远期价格K在时间T购买标的资产，和（b）以远期价格F₀在时间T卖出标的资产。组合中第1个合约在时间T的收益为S_T-K，第2个合约的收益为F₀-S_T，总收益为F₀-K。这个数值在今天是已知的。因此交易组合是无风险的，在今天的价值等于在时间收益的贴现值，即（F₀-K）e^-rT。因为F₀是今天进入远期合约时的远期价格，所以按交割价格F₀卖出资产的远期合约价值为0，由此可见，具有交割价格K的合约（多头）在今天的价值为（F₀-K）e^-rT。类似地，以执行价格K卖出资产的远期合约（空头）的价值为（K-F₀）e^-rT。

例5-4

一个无股息股票上的远期合约多头是在以前成交的。这一远期合约还有6个月到期。无风险利率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，远期合约的交割价格为24美元。这时S₀=25，r=0.10，T=0.5和K=24。由式（5-1）得出6个月期的远期合约的价格F₀为

由式（5-4）可知远期合约的价值为

式（5-4）说明对于一个资产上的远期合约多头定价时，我们可以假定资产在远期合约到期时的价格等于远期价格F₀。为了说明这一点，注意在做出这个假设之后，远期合约在T时刻的收益为F₀-K，贴现值为（F₀-K）e^-rT，这与式（5-4）中的f一致。类似地，在对于远期合约空头进行定价时也可以假设远期价格在将来会实现。这与4.7节中的结果类似：对远期利率合约定价时，我们可以假设远期价格在将来会实现。

将式（5-4）与式（5-1）结合，我们可以得出在没有中间收入的资产上的远期合约多头价值为

类似地，将式（5-4）与式（5-2）结合，我们可以得出在提供贴现值为I的已知收入的投资资产上远期合约多头价值为

最后，将式（5-4）与式（5-3）并用，我们可以得出提供收益率为q的投资资产上的远期合约多头价值为

当期货价格变化时，期货合约的盈亏等于其价格变化乘以持有期货头寸的大小。因为期货合约为每日结算，所以收益几乎马上就可以兑现。式（5-4）表示当远期价格变化时，其盈亏等于远期价格变化的贴现值，并乘以其头寸的大小。外汇交易中远期和期货收益的不同可能会给外汇交易员带来困扰（见业界事例5-2）。

业界事例5-2　是系统错误吗

一家银行的一名外汇交易员进入了一个在3个月后以汇率1.5000的价格买入100万英镑远期合约的多头。同时，另外一个交易台的交易员进入了16份3个月期限英镑期货合约的多头，期货价格为1.5000。每份英镑期货合约的规模为62500英镑，因此远期和期货交易的头寸一样。在进入交易后，远期和期货价格都涨至1.5040。银行系统显示期货交易员获利4000美元，但远期合约交易员的获利只有3900美元。远期合约交易员马上打电话给银行系统部门进行抱怨。远期合约交易员的抱怨合理吗？

答案是否定的！期货合约的每天交割保证了交易员马上兑现了盈利，盈利数量对应于期货价格的涨幅。如果远期合约交易员马上对其头寸进行平仓，即进入执行价格为1.5040的远期合约空头，远期合约交易员在3个月后能够以1.5000的汇率买入100万英镑，并同时能够以1.5040的价格卖出100万英镑，这因此会产生4000美元盈利，但这一盈利是在3个月以后。因此远期合约交易员的盈利为4000美元的贴现值，这与式（5-4）是一致的。

远期合约交易员可以从盈利与亏损的对称性中得到补偿，如果远期/期货价格下跌到1.4960，而不是上升到1.5040，那么期货交易员马上会损失4000美元，而远期合约交易员却只损失3900美元。