附录20A　由波动率微笑来确定隐含风险中性分布

期限为T，执行价格为K的欧式看涨期权价格为

其中r为利率（假定为常数），S_T为T时刻的资产价格，g为S_T的风险中性概率密度函数。对K求导数，我们可以得出

再对K求一次导数，我们得出

因此，概率密度函数g由以下方程给出

这一结果最先由Breeden和Litzenberger在1978年得出，由此我们可以由波动率微笑来估算风险中性概率分布。^[1]假定c₁、c₂和c₃分别为期限为T，执行价格为K-δ、K和K+δ的看涨期权价格。假定δ很小，g（K）的近似估计为

为了以另外一种方式来理解以上公式，假定你设定了一个蝶式差价，其中执行价格分别为K-δ、K、和K+δ，期限为T。这意味着你将买入执行价格为K-δ的看涨期权，买入执行价格为K+δ的看涨期权，同时卖出2个执行价格为K的看涨期权。你的头寸的价值为c₁+c₃-2c₂，这一头寸的价值也可以通过对收益的风险中性概率分布g（S_T）进行积分，并以无风险利率进行贴现来求得。头寸收益如图20A-1所示。因为δ很小，我们可以假定在K-δ<S_T<K+δ区域内，g（S_T）=g（K），这里的收益不为0。在图20A-1三角形“尖刺”（spike）区域下的面积为0.5×2δ×δ=δ²，从而收益的价值为e^-rTg（K）δ²。因此

由此得出

图20A-1　蝶式差价的收益

例20A-1

假定一个无股息股票的当前价格为10美元，无风险利率为3%，3个月期限执行价格分别为6美元、7美元、8美元、9美元、10美元、11美元、12美元、13美元和14美元的期权的隐含波动率分别为30%、29%、28%、27%、26%、25%、24%、23%和22%。一种应用以上结果的方式如下：假定g（S_T）在S_T=6和S_T=7之间为常数，在S_T=7和S_T=8之间为常数，等等。定义

g₁的取值可以由期限为3个月，执行价格为6.5美元的隐含波动率进行插值计算求得，计算结果为29.5%，这意味着执行价格为6美元、6.5美元和7美元的隐含波动率分别为30%、29.5%和29%。由软件DerivaGem可以得出对应的价格分别为4.045美元、3.549美元和3.055美元。利用式（20A-2），K=6.5和δ=0.5，得出

进行类似计算，可以得出

图20A-2　例20A-1中的隐含波动率

图20A-2展示了隐含概率分布（注意，在概率分布下的区域面积为0.9985，因此S_T<6或S_T>14的区域面积为0.0015）。虽然图从20A-2中看来并不是很明显，隐含波动率的左端比对数正态分布的左端确实要肥大，右端比对数正态分布的右端要瘦小。对于基于单一波动率为26%的对数正态分布而言，股票价格介于6美元和7美元之间的概率为0.0031（在图20A-2中为0.0057）；股票价格介于13美元和14美元的概率为0.0167（在图20A-2中为0.0113）。

[1] 见D.T.Breeden and R.H.Litzenberger，“Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices，”Journal of Business，51（1978），621-51。