15.1　股票价格的对数正态分布性质

布莱克、斯科尔斯和默顿用来描述股票价格行为的模型正是我们在第14章中建立的模型。该模型假设无股息股票在一短时间内的百分比变化具有正态分布。定义

μ：股票每年的期望收益率；

σ：股票价格每年的波动率。

在Δt时间内股票收益的均值和标准差分别近似地等于μΔt和。因此

其中ΔS为股票价格在Δt时间内的变化，φ（m，v）代表期望为m，方差为v的正态分布。（这正是式（14-9）。）

在14.7节中我们曾证明

因此

和

其中S_T是在未来时间T时的价格，S₀是在时间零时的价格。在这里没有做任何近似。式（15-3）说明lnS_T服从正态分布，所以S_T服从对数正态分布。lnS_T的均值是lnS₀+（μ－σ²/2）T，标准差是。

例15-1

考虑一个初始价格为40美元的股票，该股票的期望收益率为每年16%，波动率为每年20%。由式（15-3）我们知道，股票价格S_T在6个月时的概率分布是

一个服从正态分布的变量取值落在与均值的距离小于1.96倍标准差范围内的概率为95%。在本例中，标准差为，因此在95%的置信度下，我们有

这可以写成

或

因此，在6个月后股票价格介于32.55及56.56范围内的概率为95%。

具有对数正态分布的变量可以取零与无穷大之间的任何值，图15-1显示了对数正态分布的形状。与正态分布不同的是，它呈偏态，因此它的均值、中位数以及众数均不相等。由式（15-3）以及对数正态分布的性质，我们可以证明S_T的期望值E（S_T）为

这与将μ定义成收益率期望的含义是一致的。S_T的方差（varS_T）可以表示为^[1]

图15-1　对数正态分布

例15-2

考虑某股票，其当前价格是20美元，期望收益率是每年20%，波动率为每年40%。股票在1年后价格的期望和方差由下面式子给出

1年后股票价格的标准差为，即10.18。

[1] 关于式（15-4）和式（15-5）的证明可以在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 2中找到。关于对于对数正态分布性质更详细的讨论，见J.Aitchison和J.A.C.Brown，The Lognormal Distribution.Cambridge University Press，1966。