27.6　障碍期权

在第26章里，我们给出过标准障碍期权的解析定价公式。在这一节里我们考虑当没有解析解时，关于障碍期权定价的数值算法。

原则上讲，我们可以采用第21章里讨论的二叉树和三叉树来对障碍期权定价。考虑一个上涨-敲出期权（up-and-out option），我们可以采用与标准期权定价相同的算法，只是当节点高出障碍值时，我们需要将期权的价值设为0。

三叉树比二叉树的精确度要好，但对于障碍期权，三叉树的收敛也很慢。为了取得合理的精确度，我们需要采用很大的步数。产生这一现象的原因是由于树形结构采用的障碍与实际障碍有所不同。^[1]定义内部障碍（inner barrier）为刚好落在真正障碍内的树形结构上的节点（离树形结构的中心更近），外部障碍（outer barrier）为刚好落在真正障碍外的树形结构上的节点（离树形结构的中心更远）。图27-5显示了在障碍为水平的假设下三叉树的内部障碍和外部障碍。在通常的计算中，一般都隐含地将外部障碍假设为真正障碍，这是因为障碍条件首先被用于在外部障碍上的节点。假定时间步长为Δt，垂直节点之间的间隔与同阶。这意味着，由真正障碍与外部障碍之间的差别所带来的计算误差也应该与同阶。

图27-5　对障碍期权定价的三叉树

一种解决这一问题的方法如下：

（1）假定内部障碍为真正障碍，计算期权价值；

（2）假定外部障碍为真正障碍，计算期权价值；

（3）对以上两个价值进行插值。

另外一种解决问题的方法是确保节点落在障碍上。假定股票的初始价格为S₀，障碍为H。在三叉树的每个节点上，资产价格变化共有三种可能：价格上升比率为u，价格不变，价格下降比率为d，其中d=1/u。我们总可以选择u来保证节点落在障碍上，u所满足的条件为

即

其中N为一个正（或负）的整数。

在21.4节中讨论三叉树时，我们曾建议将u的值取为，因此。对这里所考虑的情形，一个选择lnu的原则是在保证lnH=lnS₀+Nlnu条件成立的同时，确保lnu尽可能接近于，这意味着

其中

这里int（x）代表x的整数部分。

由此我们可以得出图27-6所示的树形结构。假定p_u、p_m和p_d代表树的节点上价格上涨、不变、下跌的概率，以下选择可以保证树形结构与股票价格收益的前两阶矩相匹配

图27-6　节点落在障碍上的树形

自适用网格模型

在初始股票的价格与障碍有一定距离时，以上所讨论方法的效果很好。当资产初始价格与障碍水平很接近时，我们可以采用21.4节中提到的自适用网格模型。^[2]这一模型的核心思想是在树形结构上，当资产价格是在计算所需要的关键区域时，树形结构会自行由粗网格变为细网格。

为了给障碍期权定价，当资产价格接近障碍时，我们需要更细致的网格。图27-7说明了该类树形的设计过程。树形的几何形状保证节点落在障碍上，概率的选择会保证标的资产所服从过程的两阶矩被得以匹配。图27-7中的粗线条代表粗网格树形，细线条代表细网格树形。在计算过程中，我们首先以通常的方式在粗网格树形上进行倒推计算，在附加网格上我们采用虚线所示的分叉进行计算，最后在树形上进行倒推计算。

图27-7　用于障碍期权定价的自适用网格模型

[1] 关于这一问题的讨论，见P.P.Boyle and S.H.Lau，“Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method，”Journal of Derivatives，1，4（Summer 1994）：6-14。

[2] 见S.Figlewski and B.Gao，“The Adaptive Mesh Model：A New Approach to Efficient Option Pricing，”Journal of Financial Economics，53（1999）：313-51。