29.2　利率上限和下限

在场外市场里，金融机构提供的一种很流行的利率期权是利率上限（interestrate cap）。为了帮助我们理解利率上限，我们首先考虑浮动利息本票（floating ratenote）。在这种本票中，利率要被定期重置为LIBOR。两次重置利率时间的间隔叫票期（tenor）。假定票期为3个月，浮动利息本票中最初3个月的利率为最初的LIBOR利率；接下3个月所对应的利率等于当时的市场LIBOR利率，等等。

利率上限的设计是为了保证浮动利息债券中的浮动利率不超过某个水平。这一利率水平被称为上限利率（cap rate）。假定本金为1000万美元，票期为3个月，上限期限为5年，上限利率为4%（因为票期为3个月，这一个上限利率为每3个月复利一次）。这一上限合约保证了浮动利息本票中的利率不会高于4%。

在以下的分析中，我们首先忽略计量天数惯例对于计算结果的影响。我们假设付款日之间的时间间隔正好为0.25年（在本节的最后，我们将讨论计量天数惯例）。假设在某一个利率重置日，3个月的LIBOR利率为5%，浮动利率本票在3个月后需支付

在3个月LIBOR利率为4%的情况下，浮动利率本票在3个月后需支付

因此利率上限所提供的收益为25000美元（125000-100000）。注意产品的收益并不发生在观察利率（即5%）的重置日，而是发生在3个月以后。这一点反映了利率的观察时间与交割时间存在一个自然的时间差。

在利率上限内的每一个重置日上，如果LIBOR利率小于4%，在3个月后的上限收益为0；如果LIBOR大于4%，上限收益为LIBOR超出4%的溢差乘以面值1000万美元，再乘以1/4。通常在定义上限时，即使最初的LIBOR利率高于上限利率，在第一个重置日也不会导致任何收益。在我们的例子中，上限期限为5年，因此总共有19个重置日（即在0.25年、0.50年、0.75年……4.75年）和19个潜在的收益日（即在0.5年、0.75年、1.00年……5.00年）。

29.2.1　将利率上限看作利率期权的组合

考虑一个期限为T的利率上限，本金为L，上限利率为R_K。利率上限的重置日为t₁，t₂，…，t_n，并定义t_n+1=T，R_k为在t_k时刻观察到的t_k到t_k+1之间的LIBOR利率（1≤k≤n），利率上限在t_k+1（k=1，2，…，n）的收益为

其中δ_k=t_k+1－t_k，^[1]R_K和R_k的复利频率均等于重置日的频率。

由式（29-5）所表达的收益等价于一个在时间t_k所观察的LIBOR利率上的看涨期权，期权的收益发生在时间t_k+1。一个利率上限包含n个这样的看涨期权。LIBOR利率的重置日为t₁，t₂，t₃，…，t_n，相应的收益日为t₂，t₃，t₄，…，t_n+1。上限中的n个看涨期权被称为利率上限单元（caplet）。

29.2.2　将利率上限当成债券期权组合

利率上限也可以看成是一个零息债券上看跌期权的组合。看跌期权的收益发生在利率重置日。由式（29-5）定义的发生在t_k+1的收益等价于以下发生在t_k的收益

应用简单代数运算，可以得出以上表达式等价于

表达式

是在t_k+1时支付L（1+R_Kδ_k）的零息债券在时间t_k的价值。式（29-6）等于一个在t_k+1到期的零息债券上看跌期权的收益，期权的到期日为t_k，零息债券的面值为L（1+R_Kδ_k），期权的执行价格为L。因此，我们可以将利率上限看成是一个关于零息债券欧式看跌期权的组合。

29.2.3　利率下限和利率双限

利率下限（floor）和双限（collar）（有时也被称为下限-上限协议（floor-ceiling agreement））的定义与利率上限类似。利率下限在浮动利息本票的利率低于一定水平时提供收益。沿用前面的符号，利率下限在时间t_k+1（k=1，2，…，n）收益为

同利率上限类似，利率下限可看作一个由利率看跌期权组成的交易组合，也可以当成零息债券上看涨期权的组合。利率下限中的每个期权都被称为下限单元（floorlet）。利率双限确保支付与LIBOR有关的浮动利率介于两个上下限水平之间，它是一个利率上限多头寸与一个利率下限空头寸的组合。在构造利率双限时，通常使上限的价值等于下限的价值。因此，进入利率双限交易的成本为0。

业界事例29-1给出了利率上限与下限之间的平价关系式。

业界事例29-1　利率上限与下限之间的看跌-看涨平价关系式

利率上限及下限之间存在一种如下形式的看跌-看涨平价关系式

上限价值=下限价值+利率互换价值

在以上关系式中，上限与下限具有同样的执行价格R_K。在互换交易中收入浮动利率同时付出固定利率R_K，并且在第1个重置日没有支付，这里所涉及的3个产品具有同样的期限与付款频率。

为了说明以上关系式是正确的，我们考虑一个由利率上限多头寸和一个下限空头寸所组成的交易组合，利率上限在当LIBOR大于R_K时提供的收益为LIBOR-R_K，利率下限的空头寸在当LIBOR小于R_K时提供收益为

－（R_K－LIBOR）=LIBOR－R_K

因此对应于所有情形，交易组合的收益均为LIBOR-R_K，这刚好等价于利率互换的收益，所以上限价值减去下限价值刚好等于互换的价值。

注意互换的构造往往是在0时刻LIBOR决定了在第1个重置日的付款量，而上限及下限的构造是使第1个重置日没有任何支付。这说明为什么在看跌-看涨平价关系式里的互换跟通常的互换不太一样，因为它在第1个重置日没有支付。

29.2.4　上限与下限的定价

如式（29-5）所示，在t_k时间被重置的利率上限单元在时间t_k+1所提供的收益为

利用标准市场模型，这一利率上限单元的价值为

其中F_k是在时间0时所观察到的时间t_k与t_k+1之间的远期利率，σ_k是它的波动率。以上模型是布莱克模型的自然推广。波动率σ_k与相乘，这是因为利率R_k的观察时间是t_k，而贴现因子P（0，t_k+1）则反映了收益发生在时间t_k+1，而不是在时间t_k。相应的下限单元价格为

例29-3

考虑一个在一年后开始，并持续3个月的将1000万美元的LIBOR利率限定在8%以下（每季度复利一次）的利率上限。这里所描述的上限单元有可能是上限合约的一个组成部分。假设以LIBOR/互换零息曲线作为无风险利率用来贴现，而且假定LIBOR/互换零息曲线形状为水平，每年7%，复利频率为每季度一次。利率上限单元所对应的3个月期限远期利率波动率为每年20%，对应于所有期限的（连续复利）利率均为6.9394%。在式（29-7）中，F_k=0.07，δ_k=0.25，L=10，R_K=0.08，t_k=1.0，t_k+1=1.25，p（0，t_k+1）=e^{－0.069395×1.25}=0.9169和σ_k=0.20。同时

因此上限单元的价值为（按百万计）

即5162美元。这个结果也可以由DerivaGem求出。

每一个利率上限单元都必须通过式（29-7）来单独定价。类似地，每一个下限单元都必须通过式（29-8）来单独定价。一种定价的方法是对于不同的上限单元（或下限单元）采用不同的波动率，这些波动率被称为即期波动率（spot volatility）。另外一种定价方法是对于构成上限（或下限）的所有上限单元（或下限单元）均采用相同的波动率，但波动率随上限（下限）的有效期限变动，这一波动率被称为单一波动率（flat volatility）。^[2]虽然市场所报出的波动率常常为单一波动率，但是许多交易员却喜欢估计即期波动率，因为这可以帮助他们识别那些价格过高或过低的上限单元（或下限单元）。欧洲美元期货看跌（看涨）期权同利率上限单元（下限单元）非常相似，由利率上限单元和下限单元所使用的3个月LIBOR即期波动率常常与那些由欧洲美元期货期权价格所计算出的波动率进行比较。

29.2.5　即期波动率和单一波动率

图29-3展示了典型的即期波动率和单一波动率与期限之间的函数关系（对于即期波动率情形，期限对应于利率上限单元与下限单元的到期日；对于单一波动率情形，期限是上限或下限的到期日）。单一波动率相当于即期波动率的累积平均值，因此其变动幅度相对较小。如图29-3所示，在波动率中我们常常会观测到在大约2年到3年时会出现“驼峰”（hump）的形状，而且无论是在期权价格所隐含的波动率中还是在由历史数据计算出的波动率中，我们都会观测到这种驼峰形状。对于驼峰存在的原因，还没有一个定论。一种可能的解释如下：零息曲线中的短期利率由中央银行控制，而与短期利率对应的2年和3年的利率在一定程度上由交易员的交易行为所决定，也许这些交易员对于短期利率的变化反应过于敏感，因此其交易行为会造成这些利率比短期利率的变化幅度要高。期限大于2~3年的利率具有在第31章将讨论的回归均值（mean reversion）特性，从而造成了波动率的下降。

图29-3　隐含波动率的驼峰

经纪人会提供上限与下限的单一波动率表格，这些波动率所对应的产品通常为平值期权，这是指上限/下限利率等于与上限付款日期相同的互换利率。表29-1显示了美国市场中典型的经纪人报价数据，其中上限的票期为3个月，上限的有效期为1年到10年不等。这里的波动率为单一波动率而不是即期波动率。数据显示出图29-3中驼峰的形状。

表29-1　典型的美元上限和下限隐含单一波动率的数据　（每年%）

29.2.6　模型的理论根据

布莱克模型的推广可以用于对上限单元定价，这一模型与对于在t_k+1到期的零息债券为远期风险中性的世界是内在一致的。28.4节里的分析说明：

（1）任意一个证券的价值都等于在这个世界里证券在t_k+1的期望值乘上t_k+1到期的零息债券价格（见式（28-20））；

（2）这一世界内，时间t_k与t_k+1之间利率的期望值等于远期利率（见式（28-22））。

沿用前文的记号，上面的第一个结论说明在t_k+1提供收益的上限单元价格为

其中E_k+1代表对于在t_k+1到期的零息债券为远期风险中性世界中的期望值。假定上限标的远期利率的波动率为常数σ_k，同时在这一世界里，R_k服从对数正态分布，ln（R_k）的标准差为。由第15章的附录可知式（29-9）变为

其中

第2个结论意味着

由式（28-22）可知当LIBOR被用作零息贴现率时，上式是正确的。在29.4节里，我们将证明只要远期LIBOR利率的确定方式去按OIS贴现一致，上式仍然正确。与以上式结合，我们可以得出关于上限的定价方程式（29-7）。这些结果表示，当将利率期望值设定为远期利率时，我们可以利用今天在市场所观察的在t_k+1到期的利率对预期收益进行贴现。

29.2.7　使用DerivaGem软件

DerivaGem软件可用于对利率上限与下限进行定价，其中的模型为布莱克模型。用户在Cap_and_Swap_Option工作表中应选择Cap/Floor作为产品类型，并选择Black-European为定价模型（pricing model）来进行计算。定价中输入的LIBOR/互换零息曲线为连续复利形式（当使用OIS贴现时，必须同时将OIS零息曲线输入）。输入的数据包括上限有效期的起始日期及结束日期，单一波动率及上限付款的交割频率（即区间长度）。软件所产生的付款日期由结束日开始反向倒推到起始日。刚开始时上限单元/下限单元所覆盖的区间为正常区间的1/2倍到1.5倍。例如，假定上限的有效期为1.22~2.80年，付款交割频率为季度，有效期内共有6个上限单元，它们分别为2.55~2.80年、2.30~2.55年、2.05~2.30年、1.80~2.05年、1.55~1.80年及1.22~1.55年。

29.2.8　计量天数惯例的影响

到现在为止，我们在本节所给出的公式里没有考虑计量天数惯例的影响（对于计量天数惯例的解释，见6.1节）。假定上限利率R_K的计量天数惯例为“实际天数/360”（actual/360）（这是美国市场常用的惯例）。这意味着公式中的δ_k应被a_k代替，a_k为t_k与t_k+1之间的计利时段（accrual fraction）。例如，假定t_k为5月1日，t_k+1为8月1日，在“实际天数/360”计量天数惯例下，t_k与t_k+1之间有92天，因此a_k=92/360=0.2556。远期利率的计量天数惯例也必须为“实际天数/360”，这意味着我们必须通过以下方程求得F_k

这样做的影响与反过来计算的影响基本一致：在“实际天数/实际天数”基础上计算δ_k，然后将R_K由“实际天数/360”转换为“实际天数/实际天数”（actual/actual），并通过以下方程求F_k

[1] 我们将在本节的最后讨论天数计量惯例。

[2] 由单一波动率可以计算即期波动率，反之亦然（见练习题29.20）。