30.3　Quanto

Quanto或交叉货币衍生产品（cross-currency derivative）是涉及两种货币的金融产品，其收益是由一种货币来度量，但却是以另一种货币来支付。Quanto的一个例子是业界事例5-3中在CME交易的日经225（Nikkei 225）指数上的期货合约。合约标的市场变量是日经225指数（以日元计算），但合约却是以美元交割。

考虑一个在时间T按货币X提供数量收益的Quanto，我们假设其收益依赖于一个在时间T观察的货币Y上变量V的值。定义：

P_X（t，T）：以货币X度量，在时间T付出一个X货币单位的零息债券在时间t的价值；

P_Y（t，T）：以货币Y度量，在时间T付出一个Y货币单位的零息债券在时间t的价值；

V_T：V在时间T的值；

E_X（V_T）：在一个对P_X（t，T）为远期风险中性世界里V_T的期望值；

E_Y（V_T）：在一个对P_Y（t，T）为远期风险中性世界里V_T的期望值。

从计价单位P_Y（t，T）转换到计价单位P_X（t，T）的计价单位比率为

其中S（t）为时间t的即期汇率（每X单位货币所对应的Y货币数量）。由此可见，计价单位比率W（t）是期限为T的远期汇率。定义：

σ_W：W的波动率；

σ_V：V的波动率；

ρ_VW：V与W之间的瞬时相关系数。

由式（28-35），计价单位的变化会使V的增长率增加α_V，其中

如果我们假设波动率和相关系数均为常数，这意味着

或作为近似

我们将利用这个方程来对第33章中所谓的交叉货币度量互换（differential swap）进行定价。

例30-4

假定日经指数的当前值为15000日元，1年期的美元无风险利率为5%，1年期的日元无风险利率为2%，日经指数的股息收益率为1%，以日元计价的1年期日经远期合约可由通常方式，即式（5-8）来计算

假设股指的波动率为20%，一年期美元/日元远期汇率的波动率为12%，股指与汇率的相关系数为0.3。这时，E_Y（V_T）=15150.75、σ_F=0.20、σ_W=0.12和ρ=0.3。由式（30-6），日经指数在对1年期美元零息债券为远期风险中性世界里的期望值为

这是日经合约的远期价格，合约提供的是美元收益，而不是日元收益（作为近似，这也是该类合约的期货价格）。

使用传统风险中性测度

当衍生产品的收益只发生在一个时刻时，我们所使用的远期风险中性测度会非常有效，但对于其他情形，有时使用传统的风险中性测度会更为合适。假设我们知道变量V在货币Y下的传统风险中性世界里所服从的过程，而希望估计这个变量在货币X下的传统风险中性世界里所服从的过程。定义：

S：即期汇率（每单位X的Y数量）；

σ_S：S的波动率；

σ_V：V的波动率；

ρ：S与V之间的瞬时相关系数。

这时，计价单位的变化是由货币Y为度量的货币市场账户（money market account）转换到以货币X为度量的货币市场账户（两种货币市场账户均以货币X结算）。定义g_X为货币X的货币市场账户价值，g_Y为货币Y的货币市场账户价值。计价单位比率为

在28.4节中我们讲过，变量g_X（t）和g_Y（t）具有随机漂移项，但它们的波动率均为0。由伊藤引理得出，计价单位比率的波动率为σ_S。因此，计价单位变化使得V的增长率增加了

风险市场价格由0变为了ρσ_S。这个结果可以用来解释Siegel悖论（见业界事例30-1）。

业界事例30-1　Siegel悖论

考虑两种货币X和Y。假设在两种货币下的利率r_X和r_Y均为常数。定义S为每单位货币X所兑换货币Y的数量。如第5章所述，外国货币是一种提供收益率为外国无风险利率的资产。因此，S在传统风险世界的过程为

利用伊藤引理，1/S的过程为

这就导致了所谓的Siegel悖论（Siegel paradox）。由于在风险中性世界里，S的期望增长率为r_Y－r_X，利用对称性，1/S的期望增加率应该为r_X－r_Y，而非。

要想理解Siegel悖论，我们需要认识到这里所给出关于S的风险中性过程是处在以货币Y的货币市场账户为计价单位的风险中性世界里，由于1/S的过程是由S的过程演变而来，因此以上给出的1/S过程也是基于同一计价单位。由于1/S表示的是每Y单位所兑换X的数量，为了对称起见，我们应该在一个以货币X的货币市场账户为计价单位的世界里来度量1/S的过程。式（30-7）表明，当我们将计价单位由货币Y的货币市场账户转换为货币X的货币市场账户时，一个变量V的增长率会增加ρσ_Vσ_S，其中ρ为S和V之间的相关系数。这时，V=1/S，所以ρ=－1和σ_V=σ_S。因此，计价单位的变化会导致1/S的增长率增加。这正好与上面所给过程中的项抵消。因此，在以货币X的货币市场账户作为计价单位的风险中性世界里，1/S的过程为

这与我们开始所给出的S过程是对称的。这样我们就解决了这个悖论。

例30-5

一个2年期美式期权提供的收益为S-K英镑，其中S为期权被行使时的标普500的水平，K为执行价格。标普500的当前水平为1200。英镑和美元的无风险利率分别为5%和3%，美元/英镑汇率与标普500之间的相关系数为0.2，标普500的波动率为25%，汇率波动率为12%，标普500的股息收益率为1.5%。

我们可以通过构造关于标普500的二叉树来对这个期权进行定价，这里的树形是以英国的货币市场账户作为计价单位的（即以英国投资者的角度看是风险中性的世界）。由式（30-7），将计价单位从美国货币市场账户转换为英国货币市场账户会导致标普500的增长率期望增加

即0.6%。当以美元货币市场账户为计价单位时，标普500的增长率为3%-1.5%=1.5%。因此，以英镑货币市场账户作为计价时，这个增长率为2.1%。英镑的无风险利率为5%，因此，在英镑货币市场账户作为计价单位时，标普500可以被视为一个提供增长率为5%－2.1%=2.9%的资产。利用参数值S=1200，K=1200，r=0.05，q=0.029，σ=0.25和T=2，采用100步二叉树，DerivaGem软件给出的期权近似值为179.83英镑。