27.1　布莱克-斯科尔斯-默顿的替代模型

布莱克-斯科尔斯-默顿模型假定了资产价格变化是连续的，并且资产价格在将来的分布为对数正态。对于资产价格的变化，我们可以做许多其他假设。一种可能是仍然假设资产变化为连续，但过程并非是几何布朗运动。另外一种可能是在资产连续变化之上附加跳跃性。还有一种假设是所有资产的价格变化均为跳跃形式。在这一节中我们将讨论这三种假设下的特例。我们将考虑常方差弹性模型（constant elasticity of variance model，CEV）、默顿的跳跃-扩散混合模型（mixed jump-diffusion model）以及方差-gamma模型（variance-gamma model）。在软件DerivaGem3.00中包括所有3种模型的实现。以上这些模型被统称为Levy过程（Levy process）。^[1]

27.1.1　常方差弹性模型

一种关于布莱克-斯科尔斯-默顿模型的替代形式为常方差弹性模型。该模型是关于股票价格S的一种特殊的扩散模型，它的风险中性过程为

其中r为无风险利率，q为股息收益率，dz为维纳过程，σ为波动率，α为正常数。^[2]

当α=1时，CEV模型就是我们已经讨论过的几何布朗运动；当α<1时，波动率随股票价格的下降而增大，由此产生的资产价格概率分布与观察到的具有左端肥尾（heavy left tail）和右端瘦尾（less heavy right tail）的股票价格分布较为相似（见图20-4）；^[3]当α>1时，波动率随股票价格的增大而增大，由此产生的资产价格概率分布具有右端肥尾和左端瘦尾的特性，这对应于有时在期货期权中会观察到的隐含波动率为执行价格递增函数的波动率微笑。这种波动率微笑有时会发生在期货期权中。

在CEV模型下，欧式看涨和看跌期权的定价公式为：当0<α<1时，

当α>1时，

其中

χ²（z，k，v）代表非中心参数为k、自由度为v的非中心χ²分布的累计概率。在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 12中有关于计算χ²（z，k，v）的数值方法介绍。

CEV模型尤其适用于计算特殊股票期权。我们可以通过匹配简单模型价格的形式来选取参数，其实际操作可以通过对模型价格和实际价格差的二次方来求极小化。

27.1.2　默顿跳跃-扩散混合模型

默顿提出了一种把跳跃和连续变化联合起来考虑的模型。^[4]定义：

λ：股票价格每年的平均跳跃次数。

k：平均跳跃幅度占股票价格的百分比。

跳跃幅度百分比是由模型中一个概率分布抽样得出的。

在时间Δt内，一次跳跃发生的概率为λΔt。因此由跳跃而触发的平均增长率为λk。在风险中性世界里，标的资产服从的过程为

其中dz为维纳过程，dp为泊松过程（Poisson process），σ为几何布朗运动中的波动率。假定dz和dp为相互独立。

默顿模型的一个重要特例是当1加上跳跃幅度百分比的对数服从正态分布的情形。假定正态分布的标准差为s，默顿证明了欧式期权价格可以被写为

其中λ′=λ（1+k），变量f_n为股息率为q，方差率为

无风险利率为

的布莱克-斯科尔斯-默顿期权价格，其中γ=ln（1+k）。

同布莱克-斯科尔斯-默顿模型相比，这一模型给出的分布左右端都较为肥大，因此我们可以利用这一模型来对货币期权进行定价。类似于CEV模型，模型参数的选择是通过对模型价格与市场价格之差的平方求极小值来确定。

通过蒙特卡罗模拟，我们可以实现像默顿模型这样涉及跳跃的模型。当跳跃是由泊松过程所生成时，在时间t正好有m个跳跃的概率是

其中λ是1年中的平均跳跃次数，或者说λt是在时间t内的平均跳跃次数。

假设每年平均发生0.5次跳跃。在两年中有m个跳跃的概率等于

表27-1给出了在两年内跳跃次数为0，1，2，3，4，5，6，7和8的概率和累计概率。（像该表中这样的数字可以通过Excel中的POISSON函数来得到）。

表27-1　2年内跳跃次数的概率

为了模拟两年内的跳跃过程，在每次模拟实验中都需要确定跳跃的次数和跳跃的幅度。

为了确定跳跃的次数，每次模拟实验中我们首先取一个0和1之间的随机数，然后利用表27-1。如果随机数是在0和0.3679之间，没有跳跃发生；如果随机数是在0.3679和0.7358之间，有1次跳跃发生；如果随机数是在0.7358和0.9197之间，有2次跳跃发生；等等。为了确定跳跃的幅度，在每次模拟跳跃时，我们都需要从描述跳跃幅度的分布中提取一个样本。一旦确定了跳跃次数和跳跃幅度，我们就可以得到本次实验里变量的模拟值。

在默顿的混合跳跃-扩散模型中，跳跃是叠加在对股票价格通常所假设的对数正态扩散过程上。这时过程有两个部分（通常的扩散部分与跳跃部分），对每部分都要单独取样。对扩散部分可以按照21.6节和21.7节里所描述的方式取样，而跳跃部分可以按刚才描述的方式取样。对衍生产品定价时，我们必须使资产的总回报率（来自两部分）等于无风险利率。这说明在默顿模型里，扩散部分的漂移项等于r－q－λk。

27.1.3　方差-Gamma模型

方差-Gamma模型是非常流行的纯跳跃模型特例。^[5]对于这一模型，我们首先定义g为服从均值率为1.0，方差率为v的Gamma过程的变量在时间T内的变化。Gamma过程是一种纯跳跃过程，其中小的跳跃经常发生，但大的跳跃只是偶尔发生。g的概率分布密度函数为

其中Γ（·）代表Gamma函数。这一概率密度可以通过Excel的GAMMADIST（·，·，·，·）函数来计算，函数的第1个变量为g，第2个变量为T/v，第3个变量为v，第4个变量为TRUE或者FALSE，其中在变量等于TRUE时给出累积概率函数，FALSE时给出概率密度函数。

像通常那样，定义S_T为资产在T时刻的价格，S₀为资产的当前价格，r为无风险利率，q为股息收益率。在风险中性世界里，假定方差-Gamma模型时，lnS_T在条件g下服从正态分布，条件期望值为

条件标准差为

其中

在方差-Gamma模型中共有3个参数，即v、σ和θ，^[6]参数v为Gamma过程的方差率，σ为波动率，θ定义了偏态（skewness）。当θ=0时，lnS_T为对称；当θ<0时，lnS_T为负偏态（类似股价情形）；当θ>0时，lnS_T为正偏态。

假定标的资产服从方差-Gamma模型，我们想利用Excel来抽取从时间0到T资产变化的10000个随机样本。作为初始设定，我们分别设定计算表的元素E1、E2、E3、E4、E5、E6和E7为T、v、θ、σ、r、q和S₀，元素E8为ω，定义为

之后的计算过程为

（1）利用GAMMAINV函数来对g进行抽样。我们设定计算元A1，A2，…，A10000为

（2）对于每一个g，我们在期望值为θg、标准差为的正态分布中提取一个样本，这可以将B1设定为

对计算元B2，B3，…，B10000进行类似运算。

（3）股票价格S_T由以下表达式给定

定义计算元C1为

对计算元C2，C3，…，C10000进行类似运算，计算元C1，C2，…，C10000的结果即为S_T的样本值。

图27-1显示了在方差-Gamma假设下，当S₀=100，T=0.5，v=0.5，θ=0.1，σ=0.2和r=q=0时，S_T的概率分布。作为对照，我们同时也展示了波动率σ=0.2（即20%）几何布朗运动的概率分布图。虽然图27-1显示得不是非常清楚，方差-Gamma模型的尾部比几何布朗运动所给的对数正态分布要肥大。

图27-1　方差-Gamma过程和几何布朗运动所产生概率分布

一种对方差-Gamma分布进行描述的方式是将g视为在时间T内信息到达的速度。如果g很大，信息到达量也很多，以上计算过程第二步的正态分布均值和方差也较大；如果g很小，信息到达量也很少，以上计算过程第二步的正态分布均值和方差也较小。参数T为通常的时间测度，g有时被视为度量经济时间（economic time）或者经时间调整后信息量（time adjusted for flow of information）的参数。

Madan等人（1998）提供了欧式期权的半解析（semi-analytic）公式。方差-Gamma分布往往会产生U字形波动率微笑，这一波动率微笑不一定为对称。对于短期产品，波动率微笑十分明显；对于长期产品，波动率微笑逐渐消失。可以将方差-Gamma模型价格与股权或简单货币期权产品价格相匹配。

[1] 大体讲，Levy过程为具有稳态独立增量的连续时间随机过程。

[2] 见J.C.Cox and S.A.Ross，“The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes，”Journal of Financial Economics，3（March 1976）：145-66。

[3] 原因如下：当股票价格下跌时，波动率的上升会使得股票低价位出现的可能性增大；当股票价格上涨时，波动率的下跌会使得股票高价位出现的可能性减小。

[4] 见R.C.Merton，“Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous，”Journal of Financial Economics，3（March 1976）：125-44。

[5] 见D.B.Madan，P.P.Carr，and E.C.Chang，“The Variance-Gamma Process and Option Pricing，”European Finance Review，2（1998）：79-105。

[6] 从现实世界变化到风险中性世界时，所有的参数都会发生变化。这与在纯扩散模型中波动率保持不变的情形是不一样的。