31.1　背景

在时刻t的短期无风险利率r是关于在t开始的一个无穷小时间段上的利率，有时也被称为瞬时短期利率（instantaneous short rate）。债券价格、期权价格以及其他衍生产品价格都只依赖于r在风险中性世界里的过程，而与r在现实世界的形式无关。如在第28章所述，在传统风险中性世界里，在一个很短的时间区间t到t+Δt内，投资者所得的平均回报率为r（t）Δt。除非特别指出的情形外，在本章中我们给出的所有关于r的过程均是定义在这个风险中性世界里。

由式（28-19），在时刻T提供收益为f_T的利率衍生产品在时刻t的价值为

其中为r在时刻t与T之间的平均值，表示在传统风险中性世界里的期望值。

与通常一样，我们定义P（t，T）为在时刻T支付1美元的无风险零息债券在时刻t时的价格。由式（31-1）得出

如果R（t，T）为在时刻t、期限为T－t、按连续复利的利率，那么

于是

得出

通过这个方程，任何时刻的利率期限结构都能够由r在该时刻的值以及其风险中性过程来求得。这说明一旦我们定义了r的过程，那么我们就完全定义了零息曲线的初始形状以及其随时间变动的规律。

假设r服从如下随机过程

由伊藤引理，任何依赖r的利率衍生产品价格f服从如下过程

由于我们考虑的是传统风险中性世界，所以如果衍生产品不提供任何收入，其价格所服从的过程必须具有以下形式

因此

这是利率衍生产品价格所服从的方程。这个方程等价于布莱克-斯科尔科-默顿偏微分方程，而零息债券价格是它的一个特殊解。