第28章　鞅与测度

到现在为止，在对期权定价时，我们总是假设利率为常数。为了对从第29~33章中将要讨论的利率衍生产品定价做准备，我们在本章中将放松这个假设。

风险中性定价原理表明，一个衍生产品的价值可以通过以下方式来确定：（a）假设标的资产的预期收益率等于无风险利率，并由此计算衍生产品收益的期望值；（b）对得到的收益期望值以无风险利率进行贴现。当无风险利率是常数时，风险中性定价提供了一个明确、毫不含糊的工具。但当利率是随机时，这个方法的意思并不是很清楚。标的资产的预期收益率等于无风险利率是什么意思？是指（a）每天的收益率期望值是无风险利率，或（b）每年的收益率期望值是1年期的无风险利率，或（c）在5年时间的开始时所期望的收益率是5年利率？对收益的期望值用无风险利率进行贴现又指什么？比如，我们能对预计在5年后所实现的收益用今天的5年无风险利率进行贴现吗？

在这一章里，我们将解释当无风险利率为随机时风险中性定价的理论基础，并且说明在任何情形下都可以假定许多不同的风险中性世界。我们首先定义一个叫作风险市场价格（market price of risk）的参数，然后证明在一个很短的时间区间里衍生产品的收益率高于无风险利率的部分与标的随机变量的风险市场价格之间有一个线性关系。我们把风险市场价格是零的情形称为传统风险中性世界（traditional risk-neutral world）。我们将会发现在某些情况下，一些其他关于风险市场价格的假设也是很有用处的。

要想完全理解风险中性定价，鞅（martingale）与测度（measure）是很关键的概念。一个鞅是没有漂移项的随机过程，而一个测度是我们表示证券价格的一种单位。本章的关键结果是等价鞅测度（equivalent martingale measure）。它表明如果我们用可交易的证券价格作为衡量单位，那么将存在一个风险市场价格使得所有的证券价格都是鞅。

在本章中，我们将看到等价鞅测度的许多用处。我们将利用它来推广布莱克模型（见18.8节），并由此对利率是随机情况下的股票期权定价，也对资产替换期权定价。在第29章里，将利用这些结果去理解利率衍生产品定价的标准市场模型。我们在第30章里对一些非标准衍生产品进行定价，而这些结果将会帮助我们在第32章中建立LIBOR市场模型。