28.7　资产交换期权

下面我们考虑将一个价值为U的投资资产转换成一个价值为V的投资资产的期权。在26.14节中我们对这种期权已经讨论过。假设U和V的波动率分别是σ_U和σ_V，它们之间的相关系数是ρ。

首先假定这两个资产不提供收入。将计价单位g选成U，而且在式（28-15）中令f=V，我们有

其中E_U表示在一个关于U为远期风险中性世界里的期望值。

然后我们在式（28-15）中令f为所考虑期权，即资产交换期权的价值。于是f_T=max（V_T－U_T，0），这样会得到

即

而V/U的波动率满足（见练习题28.13）

利用式（15A-1），式（28-31）可以写成

其中

由式（28-30）我们得到

这就是在资产不提供收入的情况下将一个资产交换成另一个资产的期权价格。

练习题28.8证明了当f和g以q_f和q_g的速度提供票息时，式（28-15）变为

因此，式（28-30）和式（28-31）变为

和

式（28-32）变为

而d₁和d₂则被重新定义成

这正是式（26-5）所给出的关于资产交换期权的结果。