23.7　相关系数

截至目前，我们仅仅是围绕对波动率的预测进行讨论。如第22章所示，在计算VaR时，相关性也起着很重要的作用。在这一节里我们将说明如何采用一种类似于对波动率进行更新的方法来估计相关系数。

两个变量X和Y之间的相关系数可以定义为

其中σ_X和σ_Y分别为X和Y的标准差，cov（X，Y）为X和Y之间的协方差。X和Y之间协方差的定义为

其中μ_X和μ_Y分别为X和Y的均值，E代表期望值。虽然直观上我们更容易理解相关系数，但协方差才是我们真正需要分析的基本变量。^[1]

定义x_i和y_i分别为变量X与Y在第i-1天与第i天之间的百分比变化

X_i和Y_i分别为变量X和Y在第i天结束时的值。我们同时定义以下变量：

σ_x，n：在第n天对变量X日波动率的估计值；

σ_y，n：在第n天对变量Y日波动率的估计值；

cov_n：在第n天对变量X日变化量与变量Y日变化量之间协方差的估计值。

在第n天，变量X与变量Y之间相关系数的估计值为

采用同样的权重，并假定x_i和y_i的均值都为0，从式（23-3）我们可以得出，由最近m个观察值计算出的变量X和Y之间的方差分别为

类似地，变量X和Y之间协方差的估计式为

另外一种更新协方差的方法是类似于式（23-7）中的EWMA模型，这时对协方差估计的更新公式为

与EWMA模型中的分析相似，我们可以证明对应于数据x_n-1y_n-1的权重随着时间向后推移而逐渐降低。λ的值越小，给予近期数据的权重也越大。

例23-3

假设λ=0.95，在n-1天变量X与Y之间相关系数的估计值为0.6，同时我们假设变量X与Y在n-1天的波动率估计分别为1%和2%。由协方差和相关系数的关系式可以得出在第n-1天X与Y之间协方差的估计为

假设变量X和Y在n-1天的百分比变化分别为0.5%与2.5%，在第n天方差与协方差的估计应当被更新为

变量X的最新波动率估计为，变量Y的最新波动率估计为=2.028%，X及Y之间的最新相关系数为

GARCH模型也可用于对协方差进行更新，以及对未来协方差的预测。例如，对协方差更新的GARCH（1，1）模型为

其中，长期协方差平均值为ω/（1-α-β）。我们可以推出与式（23-13）和式（23-14）类似的方程，来预测未来的协方差以及计算期权期限内的平均方差。^[2]

23.7.1　协方差的一致性条件

当计算出所有的方差及协方差之后，我们可以生成一个方差-协方差矩阵。当i≠j时，矩阵的第（i，j）个元素对应于变量i与变量j之间的协方差；当i=j时，第（i，j）个元素对应于变量i的方差。

并不是所有的方差-协方差矩阵都是内部一致的。一个N×N方差-协方差矩阵Ω满足内部一致性条件是：对于所有的N×1向量w

其中w^T是w的转置。满足以上条件的矩阵称为半正定（positive-semidefinite）矩阵。

为了理解为什么不等式（23-17）必须成立，我们假定w^T=［w₁，w₂，…，w_n］，表达式w^TΩw为变量w₁x₁+w₂x₂+…+w_nx_n的方差（其中x_i代表变量i的值），因此自然不能为负。

为了保证矩阵的半正定性，我们在计算方差及协方差时必须保持一致性。例如，如果我们采用最新的m个历史数据并以均等的权重来计算方差，那我们在计算协方差时也应当采用同样的数据与权重。如果在更新方差时采用了λ=0.94的EWMA模型，那么在更新协方差时也应该采用同样的方式。

以下方差-协方差矩阵是不满足内部一致性条件的例子

这时每个变量的标准差均为1.0，协方差与相关系数相等。第1变量同第3变量高度相关，第2变量同第3个变量也高度相关，但是第1变量同第2变量之间却没有相关性。这看起来有些奇怪。令w=（1，1，-1）^T，我们可以验证关系式（23-17）不成立，从而证明了矩阵不满足半正定条件。（注：可以证明一个3×3矩阵满足内部一致性的条件为，其中ρ_ij为变量i与j之间的相关系数。）

23.7.2　将EWMA应用于4个指数的例子

现在我们重新考虑第22.2节里的例子。这是一个在2008年9月25日的交易组合。组合的构成为在道琼斯工业平均指数（DJIA）上400万美元的投资，在英国富时100指数（FTSE 100）上300万美元的投资，在法国CAC 40指数上100万美元的投资，以及在日经225指数（Nikkei 225）上200万美元的投资。在2008年9月25日可以得到之前500天内的指数回报数据。这里所用的数据与计算过程可以在以下网页中找到：http://rotman.utoronto.ca/~hull/OFOD/VaRExample。

2008年9月25日的相关系数矩阵可以通过对前500个回报赋予相等权重而得出，结果如表23-5所示。富时100指数与CAC 40指数之间有很强的相关性，道琼斯工业平均指数与富时100指数和CAC 40指数之间也有较强的相关性。日经225指数与其他指数之间的相关性相对来讲不是很高。

表23-5　2008年9月25日的相关系数矩阵。计算方法是对最近500天的回报都赋予相同的权重。变量1代表道琼斯工业平均指数，变量2代表富时100，变量3代表CAC40，变量4代表日经225

表23-6给出了在相同权重情形下的协方差矩阵。由式（22-3）可知这个矩阵给出的交易组合亏损（按千美元计）方差为8761.83。标准差是这个数字的平方根，即93.60。因此一天99%的风险价值度是（按千美元计）2.33×93.60=217.757，即217757美元。我们可以将这个数字与22.2节里通过历史模拟法所得到的风险价值度253385美元相比较。

表23-6　2008年9月25日的协方差矩阵。计算方法是对最近500天的回报都赋予相同的权重。变量1代表道琼斯工业平均指数，变量2代表富时100，变量3代表CAC40，变量4代表日经225

与之前在计算方差与协方差时给所有观察值赋予相同权重的做法不同，我们现在应用λ=0.94的指数加权移动平均（EWMA）模型。这样给出的方差-协方差矩阵如表23-7所示。^[3]由式（21-3）可知组合亏损（按千美元计）的方差是40995.765，标准差是这个数的平方根，即202.474。因此一天99%的风险价值度为

即471025美元，这个数值是由相等权重计算出的值的两倍多。表23-8和表23-9说明了出现这个结果的原因。由证券多头所构成组合的标准差随着证券回报标准差以及证券回报之间相关系数的增大而增大。表23-8说明使用EWMA模型所估计出的日标准差比使用相同权重时要高得多。这是因为在紧靠2008年9月25日之前几天内的波动率比在数据中其他天内的波动率要高得多。将表23-9与表23-5进行比较我们会发现，相关系数也增加了。^[4]

表23-7　2008年9月25日的协方差矩阵。计算方法是应用λ=0.94的EWMA模型。变量1代表道琼斯工业平均指数，变量2代表富时100，变量3代表CAC40，变量4代表日经225

表23-8　通过相同权重和EWMA模型计算出的波动率（每日%）

表23-9　2008年9月25日的相关系数矩阵。计算方法是应用λ=0.94的EWMA模型。变量1代表DJIA，变量2代表FTSE100，变量3代表CAC40，变量4代表Nikkei225

[1] 这就像在EWMA及GARCH模型中，虽然波动率更容易被人理解，但方差才是真正的基础变量。

[2] 本章的想法可以推广到多元变量GARCH模型的情形，其中整个方差-协方差矩阵被一致地加以更新。关于其他的方法，见R.Engle and J.Mezrich，“GARCH for Groups，”Risk，August 1996，36-40。

[3] 在EWMA计算中，方差在初始时取成总体方差，但对任何比较合理的初始方差值，得出的结果基本上是一样的，这是因为在所有情形下，我们感兴趣的只是最后的方差值。

[4] 当市场变糟时，相关系数通常会增加，这里所示的就是这种现象的一个例子。