13.1　一步二叉树模型与无套利方法

我们由一个非常简单的例子入手。假设一个股票的当前价格为20美元，并且我们已知在3个月后股票的价格将会变为22美元或18美元。我们希望对3个月后能够以21美元买入股票的期权定价。这个期权在3个月后的价值将为以下两者之一：如果股票价格变为22美元，期权价值将为1美元；如果股票价格为18美元，期权价值将为0。这些情形如图13-1所示。

图13-1　13.1节例子中股票价格的变化

我们发现，利用一种比较简单的方式可以来对此例中的期权定价，唯一需要的假设是在市场上没有套利机会。我们由股票和期权构造一个在3个月后价值没有不确定性的投资组合。因为这一投资组合没有任何风险，所以其收益率一定等于无风险利率。这样我们得出构造这一投资组合的成本，并由此得出期权的价格。因为这里有两个证券（股票与股票期权），并且只有两种不同的可能性，因此我们总是可以构造出无风险投资组合。

考虑一个由Δ单位的股票多头和一份看涨期权空头所构成的投资组合。我们将求出使投资组合成为无风险的Δ。当股票价格由20美元变为22美元时，所持股票的价值为22Δ，期权的价值为1美元，投资组合的总价值为22Δ-1；当股票的价格由20美元变为18美元时，所持股票的价值变为18Δ，期权的价值为0，投资组合的总价值为18Δ。当投资组合在以上两种可能性下价值相等时，投资组合没有任何风险，这意味着

即

因此，无风险投资组合为：

多头：0.25单位的股票；

空头：1份期权。

如果股票价格上涨为22美元，投资组合价值为

如果股票价格下跌到18美元，投资组合价值为

无论股票价格上涨还是下跌，在期权到期时投资组合的价值总是4.5美元。

在无套利机会时，无风险投资组合的收益率等于无风险利率。假设这时的无风险利率为每年12%，那么该投资组合在今天的价值必须为4.5美元的贴现值，即

股票在今天的价格已知为20美元，如果将期权的价格记为f，那么投资组合在今天的价值是

因此

或

以上讨论说明，在无套利机会时，期权的目前价值必须为0.633美元。如果期权价值高于0.633美元，那么构造投资组合的费用就会低于4.367美元，而投资组合的收益率就会高于无风险利率。如果期权价值低于0.633美元，那么卖空这一投资组合将会提供一个低于无风险利率的借款机会。

在市场上我们无法交易0.25份的股票，但是以上讨论也适应于卖出400份期权及买入100份股票的情形。一般来讲，对于每份卖出的期权，我们都要买入Δ份股票来构成无风险投资组合。对于对冲期权风险，参数Δ（delta）很重要，在本章后面的内容及第19章里我们将对这个参数做进一步讨论。

13.1.1　推广

我们可以将以上无套利的论证进行推广。假定股票的价格为S₀，股票期权（或以股票为标的的任何衍生产品）当前的价格为f。假定期权的期限为T，在期权有效期内，股票价格由S₀或者会上涨到S₀u，或者会下跌到S₀d，其中u>1，d<1。当股票价格上涨时，增长的比率为u－1。当股票价格下跌时，下跌的比率为1－d。假设股票价格变到S₀u时相应的期权价格为f_u，而股票价格变为S₀d时期权价格为f_d。结果如图13-2所示。

图13-2　一步二叉树中的股票价格与期权价格

与前面相同，我们考虑一个由Δ单位股票的多头与一份期权的空头所组成的投资组合。我们可以找到一个使投资组合没有任何风险的Δ：如果股票价格上涨，在期权到期时投资组合的价值为

如果股票价格下跌，组合的价值为

令以上两个值相等，即

我们得出

这时投资组合是无风险的。因为没有套利机会，其收益率必须等于无风险利率。式（13-1）表明，Δ为时间T时期权价格变化与股票价格变化的比率。

如果我们将无风险利率记为r，那么投资组合的现值为

而构造投资组合的起始成本为

所以

即

将式（13-1）中的Δ代入上式并化简，我们得出

或

或

其中

当股票价格由一步二叉树给出时，式（13-2）及式（13-3）可以用来对期权进行定价。这个公式需要的唯一假设是在市场上没有套利机会。

在前面所考虑的例子中（见图13-1），u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，f_u=1及f_d=0。由式（13-3），我们得出

由式（13-2），我们得出

这与本节开始时所得结果是一致的。

13.1.2　股票收益期望的无关性

期权定价公式式（13-2）中没有涉及股票价格上涨或下跌的概率。例如，按此公式计算，当股票价格上涨概率为0.5时所得的欧式期权价格与股票价格上涨概率为0.9时所得的欧式期权价格一样。这一点令人惊讶，似乎与我们的直觉不符。我们会很自然地认为当股票价格上涨的概率增大时，这一股票上的看涨期权价格也会增大，同时这一股票上的看跌期权价值会下降。但事实并非如此。

这里的关键原因是我们并不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的。我们是根据股票价格来计算期权价格的，未来股票价格上涨与下跌的概率已经反映在它的价格之中。因此，当根据股票价格对期权定价时，我们无须考虑股票上涨与下跌的概率。