23.3　GARCH（1，1）模型

我们现在讨论由Bollerslev在1986年提出的GARCH（1，1）模型。^[1]GARCH（1，1）模型与EWMA模型的区别与式（23-4）和式（23-5）的区别类似。在GARCH（1，1）中，是由长期平均方差V_L，u_n-1和σ_n-1计算得出的。GARCH（1，1）表达式为

其中γ为对应于V_L的权重，α为对应于的权重，β为对应于的权重。因为权重之和为1，我们有

EWMA模型是GARCH（1，1）模型对应于γ=0，α=1-λ及β=λ的特例。

GARCH（1，1）模型的（1，1）表示是由最新的u²观察值和最新的方差率估计而得出的。在更广义的GARCH（p，q）模型中，是由最新的p个u²观察值和最新的q个方差率估计而得出的。（注：有人已经提出有关公司非对称信息的GARCH模型，在这些模型设计中σ_n与u_n-1的符号有关。可以讲，这种模型对应于股票价格而言，比GARCH（1，1）更合适。如第20章所述，股票的波动率常常与价格有反向关系，因此一个符号为负的u_n-1比一个符号为正的u_n-1对于σ_n的影响更大。关于处理非对称信息的模型，读者可参考D.Nelson，“Conditional Heterscedasticity and Asset Returns：A New Approach”Econometrica，59（1990），347-370以及R.F.Engle and V.Ng，“Measuring and Testing the Impact of News on Volatility，”Journal of Finance，48（1993），1749-1778。）GARCH（1，1）是最流行的GARCH模型。

令ω=γV_L，我们也可以将GARCH（1，1）模型写成

在估计模型的参数时，通常会采用这种形式。一旦估计出ω，α和β后，我们可由γ=1-α-β来计算γ，而长期方差V_L=ω/γ。为了保证GARCH（1，1）模型的稳定，我们需要α+β<1，否则对应于长期方差的权重会为负值。

例23-2

假设某一个由日观测数据估计出的GARCH（1，1）模型为

这对应于α=0.13，β=0.86和ω=0.000002。这时γ=1-α-β=0.01。由ω=γV_L，我们得出V_L=0.0002。换句话讲，由模型隐含出的长期日方差平均值为0.0002，对应的波动率为，即每天1.4%。

假设对于第n-1天的日波动率估计为1.6%，因此，又假设在第n-1天内市场变量降低了1%，即，因此

对于波动率的最新估计为，即每天1.53%。

23.3.1　权重

将的表达式代入式（23-9）中，我们可得

即

代入的表达式

以这种形式继续下去，我们可以看到对应于的权重为αβ^i-1。权重以β指数速度下降。参数β可解释为衰减率（decay rate），这与EWMA中的λ系数近似，在决定最新方差时，此系数决定了u的观察值的相对重要性。例如，β=0.9说明的重要性只是的90%；的重要性只是的81%，等等。GARCH（1，1）与EWMA模型类似，其不同之处是除了对过去的u²权重按指数下降外，GARCH（1，1）对于长期平均波动率赋予了一定的权重。

23.3.2　均值回归

随着时间的变化，GARCH（1，1）模型中的方差率会被拉回到其长期平均水平V_L。对应于V_L的权重为γ=1-α-β。GARCH（1，1）模型与以下关于V的随机过程等价

其中时间是以天数为计量，a=1-α-β，以及（见练习题23.14）。以上模型具有均值回归的特性：方差以a的速度被拉回到V_L。当V>V_L时，方差的漂移项为负；当V<V_L时，方差的漂移项为正。模型在漂移项上附加了波动率ξ。第27章进一步讨论了这种模型。

[1] 见T.Bellerslev“Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity，”Journal of Econometrics，31（1986），307-327。