5.4　投资资产的远期价格

最容易定价的远期合约是不提供任何中间收入的投资资产上的合约。无股息股票和零息债券都属于这一类资产。

考虑一个购买1只无股息股票的3个月期远期合约。^[1]假定股票的当前价格为40美元，3个月期的无风险利率为每年5%。

首先假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能够以5%的无风险利率借入40美元来购买1只股票，并同时进入3个月期远期合约的空头（即在远期合约中将卖出股票）。在3个月后，套利者交割股票并收到43美元。在3个月后偿还贷款的现金总额为

通过这一策略，套利者在3个月结束时获得的盈利为43-40.50=2.50美元。

接下来我们假定远期的价格相对较低，为39美元。这时，一个套利者可以卖空1只股票，将所得资金以5%利率投资3个月，并同时进入1个3个月期远期合约的多头。卖空股票资金的投资在3个月后会涨至40e^0.05×3/12=40.50美元。在3个月后，套利者支付39美元，按照远期合约买进股票，并将股票用于卖空交易的平仓。套利者在3个月后的盈利为

表5-2是对以上两个交易策略的总结。

表5-2　远期价格与即期价格的脱节而引起的套利机会，标的资产不提供中间收入（资产价格为40美元，利率为5%,远期合约的期限为3个月）

在什么情况下表5-2所显示的套利机会就不再存在了呢？第1种套利在远期价格高于40.50美元时成立；第2种套利在远期价格低于40.50美元时成立。因此我们可以得出，为了保证无套利机会，远期价格必须正好为40.50美元。

5.4.1　推广

为了推广上面的例子，我们考虑一个投资资产的远期合约，资产的当前价格为S₀，并且不提供任何中间收入。采用我们前面的符号：T为到期期限，r为无风险利率，F₀为远期价格。F₀与S₀的关系式为

如果F₀>S₀e^rT，套利者可以买入资产并进入远期合约的空头来进行套利；如果F₀<S₀e^rT，套利者可以卖空资产并进入远期合约的多头来进行套利。（注：还有另一种证明式（5-1）的方法。考虑以下策略：买入1份资产并且进入远期合约的空头，在远期合约中以F₀价格卖出资产，这一交易成本为S₀，在将来的现金流入为F₀。因此S₀一定等于F₀的贴现值：S₀=F₀e^-rT，或F₀=S₀e^rT。）在我们的例子中，S₀=40，r=0.05和T=0.25。因此，由式（5-1）得

这同以上的计算结果一致。

远期合约多头与即期购买的结果都是在时间T拥有一份资产。买入并在远期期限内持有资产会带来融资成本，因此远期价格会高于即期价格。在1994年基德公司（Kidder Peabody）忽视了这一点，从而产生了很大的费用（见业界事例5-1）。

业界事例5-1　基德公司令人难堪的失误

投资银行业开发了一种产品叫作剥离零息债券（strip zero-coupon bond），其方法是将带息国家长期债券的每个现金流都当成一个单独的个体来出售。券商基德公司的一位交易员约瑟夫·吉特（Joseph Jett）有一个非常简单的交易策略：买入剥离零息债券，并在期货市场上将其卖出。如式（5-1）所示，不提供收入的债券上期货价格永远比即期价格高。例如，假设3个月期的利率是每年4%，剥离零息债券的即期价格是70美元。那么剥离零息债券上3个月期的远期价格是70e^0.04×3/12=70.70美元。

基德公司的计算机系统对吉特的每笔交易的利润都显示成等于远期价格高于即期价格的部分（在我们的例子中是0.70美元）。事实上，这项所谓利润只不过是购买剥离零息债券所用的融资成本。但是通过将每一笔远期进行延长，吉特防止了将这笔费用累积到他的头上。

基德公司的系统将吉特所做交易盈利显示成1亿美元（吉特也为此得到了一大笔奖金），但事实上这笔交易的实际损失为3.5亿美元。这一例子显示一个大的金融机构也可能会将简单事情弄错。

例5-1

考虑1个4个月期限的远期合约，这一合约的多头持有者可以在4个月时买入从今天起1年后到期的零息债券（这意味着当远期合约到期时，债券的剩余期限为8个月）。债券的当前价格为930美元，我们假定4个月期限的无风险利率为每年6%（连续复利）。因为零息债券不提供中间收入，我们可以采用式（5-1），参数为T=4/12，r=0.06和S₀=930。远期价格F₀为

F₀=930e^0.06×4/12=948.79（美元）

这一价格为今天成交的远期合约的交割价格。

5.4.2　不允许卖空时会怎么样

并不是所有的投资资产都可以用于卖空交易，而且有时在卖空时需要对所借的资产支付一定的费用。但这些情形对以上结果并没有影响。为了推导式（5-1），我们并不需要卖空资产，所需要的假设是有足够多的投资者拥有这种资产的唯一目的是为了投资（由定义我们知道，对于投资资产这一假设永远是正确的）。如果远期价格太低，投资者会卖出资产并进入远期合约的多头。

假定某标的资产没有贮存费用与中间收入。如果F₀>S₀e^rT，投资者可以采取以下交易策略：

（1）按利率r借入S₀美元，期限为T。

（2）买入1份资产。

（3）进入远期合约空头。

在时刻T，标的资产价格为F₀，这时偿还贷款所需资金为S₀e^rT，投资者的盈利为F₀-S₀e^rT。接下来假定F₀<S₀e^rT，这时拥有资产的投资者可以采取以下交易策略：

（1）以S₀的价格卖出资产。

（2）将所得资金以收益率r进行投资，期限为T。

（3）进入远期合约多头。

在时刻T，现金投资会涨至S₀e^rT。投资者以F₀价格买入资产，这一投资者同一直保存资产的投资者相比，所得盈利为S₀e^rT-F₀。

类似于以上考虑的无股息股票，我们可以期望远期价格将会得以调整从而使以上所述的两种套利机会都不再存在。这意味着式（5-1）必须成立。

[1] 在实际中，关于单一股票的远期合约并不常见，但是这一例子对我们要说明的问题很有帮助。美国市场从2002年11月开始交易有关单一股票的期货。