小结

在这一章里，我们首先考虑了在第14章中引入的股票价格过程的性质，这意味着在给定当前价格的前提下，股票价格在将来时刻的分布为对数正态分布。这也意味着，在一段时间内股票连续复利的收益为正态分布。我们展望的时间越远，未来股票价格的不确定性也越大。股票价格对数值的标准差与展望时间长度的平方根成比例。

为了以实证的形式来估计股票价格波动率σ，我们应当以固定的时间区间观测股票价格（例如，每天、每周或每月）。对于每个时间段，计算该时间段末的股票价格与该时间初的股票价格之比的自然对数，然后求出这些数值的标准差，再除以时间长度（以年计）的平方根，这样即可得出波动率的估计值。通常在计算波动率时，我们应该忽略那些交易所休市的天数。

通过构造由期权与股票所组成的无风险交易组合可以得出用于衍生产品定价的微分方程。由于期权与股票价格只依赖于同一项不确定性因素，所以这种无风险头寸总是可以构造出来的。但是，这里所建立的头寸只能在很短的一段时间内为无风险状态。在没有套利的前提下，无风险组合的收益率等于无风险利率。

股票的收益率期望并没有进入布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程中，由此而产生了很有用的风险中性定价方法。这个结果说明，当对一个依赖于股票价格的衍生产品定价时，我们可以假设世界是风险中性的，也就是说可以假定股票的回报率期望等于无风险利率，然后以无风险利率对收益的期望值进行贴现。对于欧式看涨和看跌期权的布莱克-斯科尔斯-默顿公式既可以通过求解微分方程来得到，也可以通过风险中性定价来得到。

隐含波动率是指由布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式计算出的期权价格等于市场价格的波动率。交易员在交易中观察隐含波动率并常常对隐含波动率（而不是对期权价格）提供报价。交易员会利用市场交易活跃的期权隐含波动率来对其他期权的波动率进行估计。

布莱克-斯科尔斯-默顿模型可以被推广到支付股息的欧式股票期权上，其过程是将布莱克-斯科尔斯-默顿公式中的股票价格由原股票价格减去在期权有效期内预期股息的贴现值来代替，而波动率为股票价格减去这些股息的现值后的波动率。

从理论上讲，在任何除息日前夕行使美式看涨期权可能是最优的选择。在实际中，常常仅需考虑最后一个除息日。费希尔·布莱克提出了一种近似方法：将美式看涨期权设成两个欧式看涨期权的最大值，第1个欧式看涨期权的到期日与美式看涨期权相同，第2个期权在最后一个除息日前夕到期。