28.3　鞅

鞅是一个没有漂移的随机过程。（注：更准确地讲，对于一系列随机变量X₀，X₁，…，如果对于所有i>0，E（X_i｜X_i－1，X_i－2，…，X₀）=X_i－1，其中E表示期望，那么该列变量被称为鞅。）如果一个变量θ的过程具有以下形式

那么该变量就是一个鞅，其中dz是个维纳过程。变量σ本身也可以是随机的，它可以依赖于θ和其他的随机变量。鞅具有一个很方便的性质：它在将来任何时间的期望值都等于它今天的取值。这意味着

这里θ₀和θ_T分别表示θ在时间0和T的取值。为了理解这个结果，我们注意在一个很小的时间区间上θ的变化服从均值为0的正态分布，因而θ在一个很小的时间区间上变化的期望值是零。θ在时间0与T之间的变化是由它在许多很小时间区间上变化的和所组成的，因此θ在时间0与T之间变化的期望值必须是零。

等价鞅测度结果

假设f和g是两个只依赖于一个不确定因素的可交易证券的价格。我们假设这些证券在我们考虑的时间区间内不提供任何收入。^[1]定义φ=f/g。变量φ是f关于g的相对价格。这可以理解成将f的价格基于g（而不是美元）来做单位。证券价格g称为计价单位（numeraire）。

关于等价鞅测度（equivalent martingale measure）的结果说明了在没有套利机会时，对于某个风险市场价格的选择，φ是个鞅。不但如此，对一个给定的计价单位证券g，在同一个风险市场价格的选择下，所有的证券价格f都会使φ成为鞅，而且所选择的风险市场价格正好是g的波动率。换句话说，当风险市场价格等于g的波动率时，对所有的证券价格f，比值f/g都是鞅（注意风险的市场价格与波动率具有同样的维数，即两变量均为时间的平方根，因此将风险的市场价格选择为波动率是可以的）。

为了证明这个结果，我们假设f和g的波动率分别是σ_f和σ_g。当一个世界里的风险市场价格是σ_g时，从式（28-10）我们可以得到

利用伊藤引理，可以得到

于是

即

利用伊藤引理，可以从ln（f/g）得出f/g

这说明f/g是个鞅，从而证明了等价鞅测度结果。我们把以g的波动率σ_g作为风险市场价格的世界叫作以g作为计价单位的远期风险中性（forward risk neutral）世界。

由于在一个关于g为远期风险中性的世界里f/g是个鞅，由本节开始时的结果，我们有

即

其中E_g表示在一个关于g为远期中性世界里的期望。

[1] 练习题28.8将这里的分析扩展到了证券提供收入的情形。