4.2　利率的度量

银行注明1年的储蓄利率为10%，这句话听起来虽然非常直接并且含义清楚，但事实上这句话的精确含义依赖于利率的计算方式。

如果利率计算方式是1年复利1次，银行所说的10%利率是指100美元在年终会增长为

100×1.1=110（美元）

如果利率的计算方式为每半年复利1次，这表示每6个月会挣取5%的利息，而且利息也被用于再投资，这时100美元在1年后将会增长为

100×1.05×1.05=110.25（美元）

当利率计算方式为每季度复利1次，银行所说的利率是指每3个月会挣取2.5%的利息收入，而且所得利息均用于再投资，这样100美元在1年后将会增长为

100×1.025⁴=110.38（美元）

表4-1列出了复利频率增长的影响。

表4-1　利率为每年10%，复利频率的增长对于100美元在1年后价值的影响

复利频率定义了在计算利率时的时间单位。1年复利1次的利率可以被转换成以按不同复利频率的等价利率。例如，由表4-1我们可以看到1年复利1次10.25%利率与1年复利2次10%利率等价，利率在不同计息频率下的关系可以与公里同英里之间的关系相比，它们代表的是不同的计量单位。

为了推广以上结果，我们假设将数量为A的资金投资n年。如果利率是按年复利，那么投资的终值为

A（1+R）ⁿ

如果利率是1年复利m次，投资终值为

当m=1时所对应的利率有时被称为等值年利率（equivalent annual interest rate）。

连续复利

复利频率m趋于无穷大时所对应的利率叫按连续复利（continuous compounding）利率。（注：在精算领域，连续复利利率也被称为利率强度（force of interest）。）在连续复利情况下，可以证明数量为A的资金投资n年时，投资的终值为

Ae^Rn　（4-2）

其中e=2.71828。大多数计算器中都有计算指数函数e^x的功能，所以计算式（4-2）时不会产生任何麻烦。在表4-1的例子中，A=100，n=1，R=0.1，按连续复利时数量为A的资金在投资1年后将增长到

100e^0.1=110.52（美元）

这个精确到小数点后两位的数值与用每天复利所得的结果一样。在大多数实际情况下，我们可以认为连续复利与每天复利等价。对一笔资金以利率R连续复利n年相当于乘上e^Rn项。而对一笔在第n年后的资金以利率R按连续复利进行贴现，其效果是相当于乘上e^-Rn。

在本书中，除非特别指明，利率将按连续复利来计算。习惯于按每年、每半年、每季度或其他复利频率的读者可能在开始时会感到别扭。但是，在衍生产品定价中，连续复利利率的应用非常广泛，所以应当习惯它的使用。

假设R_c是连续复利利率，R_m是与之等价的每年m次复利利率。由式（4-1）与式（4-2），我们得出

或

这就是说

和

这些式子可以将每年m次复利的利率转换为连续复利的利率，反之亦然。自然对数函数lnx是指数函数的反函数（inverse function），其定义为：如果y=lnx，那么x=e^y。在大多数计算器里都有计算这个函数的功能。

例4-1

利率报价为每年10%按半年复利。因此m=2，R_m=0.1，由式（4-3）得出，与之等价的连续复利利率为

即每年9.758%。

例4-2

假设某贷款人对贷款利率的报价为每年8%，连续复利，利息每季度支付1次，因此m=4，R_c=0.08。由式（4-4）得出，与之等价的按季度复利的利率为

即每年8.08%。这意味着，对于1000美元的贷款，每季度支付利息为20.20美元。