13.7　选取u和d使二叉树与波动率吻合

为了构造一个步长为Δt的二叉树，我们需要确定3个参数：u，d和p。一旦u和d确定之后，我们在选取p时要确保预期回报等于无风险利率r，我们已经证明

参数u和d的选取要确保波动率的吻合。股票（或任何资产）价格波动率σ的定义是使得为股票价格在一个长度为Δt的时间区间上收益的标准差（有关进一步的讨论，见第15章）。与此等价，回报的方差为σ²Δt。变量X的方差定义为E（X²）－［E（X）］²，其中E代表期望值。在每一个步长为Δt的区间内，股票回报率等于u-1的概率为p，回报率等于d-1的概率为1－p。将二叉树波动率与股票波动率进行匹配，得出

将式（13-11）的概率表达式代入以上方程并进行简化，得出

当忽略Δt²和Δt的更高级项后，这个方程的解为（注：这里我们利用级数展开

）

这些正是Cox、Ross和Rubinstein（1979）对u和d所取得值。

在以上分析中，我们选择的u和d是在风险中性世界里匹配波动率的。如果我们选择在真实世界来匹配波动率，情况又会如何？我们现在证明，这样做所得结果是一样的。

假定在现实世界里价格向上移动的概率为p^*，在风险中性世界里价格向上移动的概率为p。图13-9显示不同世界里相应的概率。定义μ为现实世界回报期望值，因此

或

假定σ为现实世界的波动率，匹配方差会得出与式（13-12）等同的方程，其中的p被p^*代替。将式（13-14）代入，得出

以上方程与式（13-13）几乎相同，唯一的不同是其中r被μ代替。当忽略Δt²和Δt的更高级项后，得出方程的解与式（13-13）的解相同，为

图13-9　股票价格在Δt时间内的变化

哥萨诺夫定理

以上结果与一个叫作哥萨诺夫定理（Girsanov’s Theorem）的重要结果密切相关。当我们从现实世界转换到风险中性世界时，股票价格的收益期望值将会变化，但它的波动率保持不变。一般来讲，当我们从具有一组风险偏好的世界转换到具有另一组风险偏好的世界时，变量的收益率期望值会变化，但其波动率却保持不变。在第28章里我们将会更详细地探讨风险偏好对市场变量性质的影响。有时也将从一组风险偏好转换到另一组风险偏好的做法称为测度变换（changing the measures）。现实世界的测度有时被称作P-测度（P-measure），而风险中性世界的测度被称作Q-测度（Q-measure）。^[1]

[1] 在我们所采用的记号下，p为Q-测度下的概率，而p*是P-测度下的概率。