15.3　收益率期望

投资者从一个股票中所寻求的收益率期望μ与股票的风险有关：风险越大，收益率期望也会越高。它还依赖于经济中的利率：当利率越高时，投资人对股票所要求的收益率期望也会越高。庆幸的是，我们不需要关心决定μ的任何细节。事实上，当利用标的股票价格来表示期权价格时，期权价格与μ毫不相干。尽管如此，股票收益率期望的一个性质常常引起混淆，因此我们特别解释这个性质。

式（15-1）表示μΔt是股票在较短时间段Δt内价格变化百分比的期望值。由此我们可能会很自然地假设μ是股票以连续复利的收益率期望，但事实并非如此。在一段长度为T的时间内真正实现的以连续复利的收益x是由式（15-6）给出的：

而且由式（15-7），我们知道期望值E（x）=μ－σ²/2。

以连续复利计算的收益率期望不等于μ的原因并不是那么一目了然，却十分重要。假定我们考虑很多长度为Δt的很短时间区间。定义S_i为股票在第i个时间区间末的股票价格，ΔS_i为S_i+1－S_i。在我们对股票价格所做的假设下，在每个小区间上股票价格的平均回报率大约为μ。换句话说，μΔt很接近于ΔS_i/S_i的算术平均值。然而，当表示成以区间Δt复利时，在数据所覆盖的总区间上收益的期望接近于μ－σ²/2，而不是μ。（注：收益率期望的意义不是很明确，它既可以是μ，也可以是μ－σ²/2。除非特别说明，本书所指的收益率期望为μ。）业界事例15-1描述的有关互惠基金的数值例子说明了为什么是这样。

为了以数学的方式解释原因，我们首先由式（15-4）开始

取对数，我们得出

我们可能会认为E［ln（S_T）］=E［ln（S_T）］，并由此得出E［ln（S_T）］－ln（S₀）=μT，即E［ln（S_T/S₀）］=μT，这也就得出了E（x）=μ。但是，因为ln是非线性函数。事实上ln［E（S_T）］>E［ln（S_T）］，因此E［ln（S_T/S₀）］<μT，从而E（x）<μ。（如上所述，E（x）=μ－σ²/2。）

业界事例15-1　互惠基金的收益率可能会令人误解

μ与μ－σ²/2的不同与互惠基金报告收益率时存在的一个问题有密切关系。假定某互惠基金经理报告的在过去5年内的年收益率（以年复利）为15%、20%、30%、-20%和25%。

这些收益的算术平均值等于以上5个数值的和除以5，即14%。但是如果一个投资者将资金投入该互惠基金，并投资5年，那么其收益率会小于每年14%。100美元的投资在5年后的价值为

100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25=179.40（美元）

而以年复利14%的收益率计算，相应值将为

100×1.14⁵=192.54（美元）

在5年后，终端值为179.40美元所对应的收益率为12.4%，这是因为

100×1.124⁵=179.40（美元）

那么，基金经理应该报告哪一个收益率呢？基金经理可能想做出以下陈述：“在过去5年，我们平均每年的收益率为14%。”虽然这种说法没有错，但它会令人产生误解，而以下陈述就不太会使人误解：“投资者在过去5年将资金投入我们互惠基金所得收益为每年12.4%。”在有些地区，监管当局要求基金经理以第2种形式报告收益率。

以上现象是数学中的一个著名结论：一组数据（不全部相等）的几何平均值总是小于算术平均值。在我们的例子中，收益每年的乘数项为1.15、1.20、1.30、0.8和1.25。这些数字的算术平均为1.140，而它们的几何平均值为1.124，即1加上年回报在5年内的几何平均值。