28.1　风险市场价格

我们首先考虑只依赖于一个变量θ的衍生产品性质。假设θ所服从的过程是

这里dz是个维纳过程，参数m和s分别表示θ增长率的期望和波动率。我们假定这些参数只依赖于θ和t。变量θ并不一定是投资资产的价格，它可以代表与金融市场不大相关的东西，比如像新奥尔良市中心的温度。

假定f₁与f₂是两个只依赖于θ和t的衍生产品价格。这些可以是期权，也可以是个在以后某个时间以θ和t函数形式提供收益的产品价格。我们假设在所考虑的时间区间中，f₁与f₂不提供任何收入。^[1]

假设f₁与f₂所服从的过程为

与

这里μ₁、μ₂、σ₁和σ₂都是θ和t的函数，其中的“dz”项必须与式（28-1）中的dz一致。这是因为它们代表f₁与f₂中不确定性的唯一来源。

我们现在用类似于14.6节中的布莱克-斯科尔斯分析将价格f₁与f₂联系起来。把f₁与f₂的过程离散化

和

我们可以利用σ₂f₂个单位的第1个衍生产品和－σ₁f₁单位的第2个衍生产品建立一个瞬时无风险交易组合，这样可以将Δz项去掉。如果用Π来表示这个组合的价值，那么

和

将式（28-2）和式（28-3）带入，这个式子变成了

由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取无风险利率。因此，

将式（28-4）和式（28-5）带进这个方程可以得到

或

注意，式（28-6）的左边只依赖于f₁过程中的参数，而右端只依赖于f₂过程中的参数。我们定义λ为式（28-6）两边的值，那么

去掉下标，我们证明了如果f是一个只依赖于θ和t的衍生产品价格，并且

那么

参数λ通常称为θ的风险市场价格（market price of risk，在衡量交易组合表现的背景下，这个量被称为夏普（Sharpe）指数）。它可能依赖于θ和t，但却不依赖于衍生产品f的特征。我们的分析表明，如果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产品f只依赖于θ和t，（μ－r）/σ的值都必须是一样的。

变量θ的风险市场价格对于依赖于θ的证劵在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的作用。式（28-8）可以被写成

我们可以从直观上来理解这个方程。注意变量σ可以被不严格地理解成在f中的θ-风险。在方程的右边，我们将θ风险的数量乘上σ-风险的市场价格。表达式的左边是衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部分，这部分可以被理解成对风险的补偿。式（28-9）与资本资产定价模型有些相似，它们都将高于无风险利率的部分和风险联系了起来。在这一章中，我们不考虑如何去度量风险的市场价格，在第35章里考虑实物期权问题时将会对此有所讨论。

值得一提的是，我们很自然地会将参数σ称为f的波动率，它是式（28-7）中dz的系数，但事实上σ的值可能是负的。当f与θ有负相关性时（即为负），情况正是这样。其实σ的绝对值｜σ｜才是θ的波动率。一种理解这一点的方式是注意当在f的过程中将dz换为－dz时，两个过程具有相同的统计性质。

我们在第5章里特别指出了投资资产与消费资产的区别。如果有足够多的投资者是为了投资的目的而买卖某种资产，那么这个资产被称为投资资产，而拥有消费资产的主要目的是为了消费。式（28-8）对所有不提供收入而且只依赖于θ和t的投资资产都成立。如果θ本身正好也是个投资资产，那么

但在其他情况下，这个关系式并不一定成立。

例28-1

考虑这样一个衍生产品，它的价格和原油价格之间具有正的相关性，而且不依赖别的随机变量。假设它提供每年为12%的预期收益率与每年20%的波动率，如果无风险利率为每年8%，这说明原油的风险市场价格是

注意，原油是消费资产而不是投资资产，因而不能在式（28-8）中让μ等于在原油上投资的收益率期望，而且让σ等于原油价格的波动率。

例28-2

考虑两个证券，它们都与90天的利率有正的相关性。假如第1个证券的收益率期望是每年3%，而波动率是每年20%，第2个证券的波动率是每年30%。假设瞬时无风险利率是每年6%。利用第1个证券的收益率期望与波动率可以计算风险市场价格为

将式（28-9）改写一下就可以得到第2个证券的收益率期望为

或每年1.5%。

其他世界

衍生产品价格f服从

其中μ依赖于投资者对风险的选择。在一个风险市场价格为0的世界里，λ等于0。从式（28-9）可以得到μ=r，于是f服从

我们将称此为传统风险中性世界（traditional risk-neutral world）。

在对风险市场价格λ做一些其他假设后，我们还可以定义其他内在一致的世界。一般来讲，由式（28-9）我们可以得出

于是

一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于这个变量的证券的增长率。当我们从一个风险市场价格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值将会改变，但它的波动率却不会改变。这是Girsanov定理的结论（在13.7节里我们在二叉树模型的情况下对此有过描述）。选择一个风险市场价格也被称为定义了一个概率测度（probability measure）。对于某个特殊风险市场价格，我们可以得到一个“现实世界”及其在实际中所观察到的证券价格增长率。

[1] 以下的分析可以推广到提供收入的情况（见练习题28.7）。