27.7　两个相关资产上的期权

另外一个难以用数字计算来处理的问题是与两个相关变量有关的美式期权定价。为此研究人员提出了许多种解决方法，在这一节里我们将讨论其中的三种。

27.7.1　变量替换

对两个不相关的变量，我们可以比较容易地构造代表变量变动的三维树形结构。构造过程如下：首先我们构造两个分别代表单个变量变动的二维树形，然后我们将这两个树形结合成一个三维树形。在三维树形中分支所对应的概率等于二维树形概率的乘积。例如，两个股票价格分别为S₁和S₂，每一个股票价格的变动可由Cox-Ross-Rubinstein二叉树来表示。假设S₁上升比率为u₁的概率是p₁，S₁下降比率为d₁的概率是1－p₁；S₂上升比率为u₂的概率是p₂，S₂下降比率为d₂的概率是1－p₂。在三维树形上，每一个节点会产生4个价格变化，相应的概率为

p₁p₂：S₁上升，S₂上升；

p₁（1－p₂）：S₁上升，S₂下降；

（1－p₁）p₂：S₁下降，S₂上升；

（1－p₁）（1－p₂）：S₁下降，S₂下降。

接下来我们考虑S₁和S₂相关的情形。假定在风险中性世界里S₁和S₂分别服从

其中维纳过程dz₁和dz₂之间的瞬时相关系数为ρ。这意味着

我们定义两个不无关的变量^[1]

以上变量服从

其中dz_A和dz_B为互不相关的维纳过程。

变量x₁和x₂可以分别用两个单独的二叉树来描述。在Δt时间，x_i增加h_i的概率为p_i，减小h_i的概率为1－p_i。变量h_i和p_i的选择确保x_i的前两阶矩被得以匹配。因为变量x₁和x₂互不相关，我们可以采用以上描述的方式来产生三维树形。在树形的每个节点上，我们可以采用以下反变换由x₁和x₂计算出S₁和S₂

在三维树形上，对于衍生产品价格的倒推计算与二维树形时相似。

27.7.2　采用非长方形的树形结构

Rubinstein提出了一种建立两个相关股票价格三维树形的方法。^[2]在任何时间点上，树形的节点位置不一定为长方形。由节点（S₁，S₂）出发，其中S₁为第1个股票的价格，S₂为第2个股票的价格，股票价格有0.25的概率变为以下每个值

其中

以及

当相关系数为0时，以上构造树形的方法等价于利用21.4节里单独构造S₁和S₂树形的方法。

27.7.3　调整概率

第3种构造关于S₁和S₂的三维树形的方法如下：首先假定相关系数为0来构造树形结构，然后通过调整概率来反映相关系数。^[3]对于单独的S₁和S₂，我们采用21.4节里的方法构造二叉树，这种方法使得价格上升和下降的概率均为0.5。在没有相关性的前提下，合成二叉树的概率如表27-2所示。对于概率进行调整后，合成二叉树的概率变为了表27-3中的形式。

表27-2　相关系数为0时三维树形的概率

表27-3　相关系数为ρ时三维树形的概率

[1] 这一想法最先由赫尔和怀特提出，见J.Hull and A.White，“Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，25（1990）：87-100。

[2] 见M.Rubinstein，“Return to Oz，”Risk，November（1994）：67-70。

[3] 这一方法是由赫尔和怀特在处理利率树形时首先提出的，见J.Hull and A.White，“Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II：Two-Factor Models，”Journal of Derivatives，Winter（1994）：37-48。