28.2　多个状态变量

假设有n个变量θ₁，θ₂，…，θ_n，它们服从以下形式的随机过程：对i=1，…，n，

其中dz_i为维纳过程，参数m_i和s_i分别表示增长率的期望与波动率，它们可以依赖于θ_i和时间。第14章附录中的式（14A-10）为我们提供了一个可以用于多个变量的伊藤引理。这个结果表示，一个只依赖于θ_i的证券价格f具有个n随机部分，并且可以表示成

在这个方程里μ表示证券的收益率期望，σ_idz_i表示在这个收益的风险中可以归咎于θ_i的部分。μ和σ_i都可能依赖于θ_i和时间。

在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 30中，我们证明了

其中λ_i为θ_i的风险市场价格。这个方程将投资者对一个证券的额外收益率要求与λ_i和σ_i联系了起来。式（28-9）是这个方程在n=1时的特例。这个式子右端的λ_iσ_i衡量投资者对一个证券由于受θ_i影响而要求额外收益率补偿的程度。如果λ_iσ_i=0，那么没有影响。如果λ_iσ_i>0，那么投资者要求有更高的收益率来补偿由θ_i所引进的风险。当λ_iσ_i<0时，对θ_i的依赖性使得投资者对其所要求的收益率比不依赖θ_i时低。当一个证券会降低（而不是增加）一个典型投资者的投资组合风险时，情况λ_iσ_i<0才会成立。

例28-3

一个股票依赖于3个标的变量：原油价格、黄金价格和一个股票指数。假如这三个变量的风险市场价格分别是0.2、-0.1和0.4，我们还假定已经估计出了式（28-12）中相对于这3个变量的σ_i分别是0.05、0.1和0.15.这个股票中比无风险利率高出的额外收益率为

或每年6.0%。如果有其他变量也影响这个股票的价格，那么只要这些变量的风险市场价格为零，我们的结论仍然成立。

式（28-13）与斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）在1976年开发的套利定价理论有着密切的关系。^[1]连续时间下的资本资产定价模型（CAPM）可以被看成这个方程的特殊情况，CAPM认为投资人会要求额外收益来补偿由于和市场收益风险的相关性而带来的风险，而对其他的风险并不要求补偿。与股票市场收益相关的风险通常被称为系统风险（systematic risk），而其他的风险被称为非系统风险（nonsystematic risk）。如果CAPM正确，那么λ_i对θ_i变化与市场收益之间的相关系数成比例。当θ_i与市场收益不相关时，λ_i为零。

[1] 见S.A.Ross，“The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing，”Journal of Economic Theory，13（December 1976）：343-62。