练习题

21.1　在美式期权的希腊值Delta、Gamma、Vega、Theta和Rho中，哪一个可以通过构造单个二叉树来估计？

21.2　计算一个3个月期限的美式看跌期权的价格，这里的标的股票不支付股息，其当前价格为60美元，执行价格为60美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年45%，构造时间段为1个月的二叉树来为这一期权定价。

21.3　解释当采用树形结构对美式期权定价时，如何应用控制变量技巧。

21.4　计算玉米期货上9个月期限的欧式看涨期权价格，这里的玉米期货当前价格为198美分，执行价格为200美分，无风险利率为每年8%，波动率为每年30%，构造时间段为3个月的二叉树来为这一期权定价。

21.5　考虑一个期权，其最终收益等于股票最终价格与在期限内股票平均价格的差额，这一期权能否用二叉树来定价？解释你的答案。

21.6　“对于支付股息的股票，股价的树形不重合；但从股价中减去股息的贴现值后，其树形重合。”解释这一论点。

21.7　说明在21.4节脚注所示的情况下，应用CRR二叉树时，将出现负概率值。

21.8　利用间隔抽样抽取100样本来改善业界事例21-1和表21-1中关于π近似值的精度。

21.9　说明为什么蒙特卡罗模拟法不能很容易地用来对美式衍生产品定价。

21.10　考虑某个无股息股票上9个月期限的美式看跌期权，期权执行价格为49美元，股票的当前价格为50美元，无风险利率为每年5%，波动率为每年30%。采用3步二叉树来对期权定价。

21.11　采用3步树形来对一个小麦期货上9个月期限的美式看涨期权进行定价。期货的当前价格为400美分，执行价格为420美分，无风险利率为每年6%，波动率为每年35%。由二叉树估算期权的Delta。

21.12　某股票上3个月期限的美式看涨期权执行价格为20美元，股票价格为20美元，无风险利率为每年3%，波动率为每年25%，在1.5个月时，股票将支付2美元股息，采用3步二叉树对期权定价。

21.13　在某无股息股票上1年期美式看跌期权的执行价格为18美元，股票的当前价格为20美元，无风险利率为每年15%，股票价格的波动率为每年40%。由DerivaGem软件并采用4步、步长为3个月的二叉树为期权定价。展示树形结构，并验证树的最后一步以及倒数第2步的期权价格的正确性。采用DerivaGem对相应的欧式期权定价。利用控制变量技巧来提高美式期权近似值的精度。

21.14　考虑某股指上2个月期限的美式看跌期权，期权的执行价格为480，股指的当前值为484，无风险利率为每年10%，股指股息收益率为每年3%，股指波动率为每年25%。将期权期限分为4个步长为半个月的区间，利用树形结构为这一期权进行估价。

21.15　当采用树形方法时，如何应用控制变量技巧来改进美式期权的Delta估计值？

21.16　假设我们采用蒙特卡罗模拟法为某无股息股票的欧式看涨期权定价，股价的波动率为随机。解释如何应用控制变量技巧和对偶变量技巧来改进计算效率。解释在同时应用控制变量技巧和对偶变量技巧时，为什么需要计算6个期权值？

21.17　说明当采用隐式有限差分法对美式看涨期权定价时式（21-27）~式（21-30）的变化情况。

21.18　考虑某无股息股票上4个月期限的美式看跌期权，期权的执行价格为21美元，股票的当前价格为20美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年30%。采用显式有限差分法对期权定价，在计算中采用4美元的价格间隔和1个月的时间间隔。

21.19　黄铜的即期价格为每磅0.60美元。假定期货价格（每磅的美元数量）如下

黄铜价格的波动率为每年40%，无风险利率为每年6%。采用二叉树对一个执行价格为0.60美元、期限为1年的美式看涨期权进行定价。在计算过程中将期限分成4个长度为3个月的时间区间（提示：如18.7节所示，在风险中性世界里，期货价格等于将来价格的期望值）。

21.20　采用练习题21.19的二叉树对以下证券定价：该证券在一年时的收益为x²，其中x为黄铜价格。

21.21　在显式有限差分法中，在什么时候边界条件S=0和S→∞会影响衍生产品价格的估计值？

21.22　你应如何采用对偶变量法来改善业界事例21-2和表21-2中欧式期权近似值的精度？

21.23　一家公司发行了3年期的可转换债券，面值为25美元。证券持有者可在任何时刻将债券转换为两只发行公司的股票。当股票价格高于或等于18美元时，公司可提前赎回债券。假定公司将会在最早的时刻强制转换债券，可转换债券所满足的边界条件是什么？假定利率为常数，你将如何利用有限差分法来对可转换债券定价？假定公司无违约风险。

21.24　假定样本i和样本j之间的相关系数为ρ_i，j，提供由标准正态分布中抽取3个随机样本的公式。