31.3　无套利模型

对于上面所讨论的均衡模型的一个缺点是这些模型无法自动地与今天的利率期限结构达到吻合。通过细心地选取参数，我们可以利用模型来对实际生活中所遇到的许多期限结构进行近似，但这种逼近一般是不完美的。大多数交易员对此不太满意：他们认为如果模型连标的债券都不能准确地定价的话，那么很难相信模型会给出一个合理的债券期权价格。他们的观点并非没有道理，因为1%的债券价格误差可能会导致25%的期权价格误差。

无套利模型（no-arbitrage model）的设计是做到与今天的利率期限结构完全吻合的模型。因此，均衡模型与无套利性模型的本质区别如下：在均衡模型下，今天的利率期限结构是模型所输出的结果，而无套利模型将今天的利率期限结构作为输入来使用。

在均衡模型中，短期利率的漂移项（即dt系数）一般不是时间的函数，但是在无套利模型中，漂移项与时间t有关，这是因为在无套利模型下，初始零息利率曲线的形状决定了将来短期利率变化所取的平均路径。如果零息利率曲线在时间t₁和t₂之间呈现急剧上升的形状，那么r在这两个时间之间的漂移项将会为正；反过来，如果零息利率曲线在这两个时间之间呈现急剧下降的形状，那么r在这两个时间之间的漂移项将会为负。

我们将会发现，在短期利率的漂移项中引入一个时间t的函数时，可以将一些均衡模型转换为无套利模型。我们接下来将讨论Ho-Lee、Hull-White（单因子和双因子）、Black-Derman-Toy以及Black-Karasinski模型。

31.3.1　Ho-Lee模型

Ho和Lee在1986年的一篇文章里第一次提出了关于期限结构的无套利模型，^[1]他们通过假定债券价格的变化规律为具有两个参数的二叉树形式来描述模型，这里的两个参数为短期利率的标准差和短期利率的风险市场价格。可以证明，Ho-Lee模型在连续时间的极限为

其中短期利率的瞬时标准差σ为常数，θ（t）为时间t的函数，其选取的标准是确保模型与初始期限结构相吻合。变量θ（t）定义了r随时间t移动的平均方向，它与r的大小无关。当该模型被用于利率衍生产品定价时，Ho-Lee模型里刻画风险市场价格的参数是没有关系的。

在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNot里的Technical Note 31中证明了

其中F（0，t）为时间0所观察的在时刻t的瞬时远期利率，而下标t表示对于t的偏导数。θ（t）近似等于F_t（0，t），这说明短期利率在将来移动的平均方向近似地等于瞬时远期利率曲线的斜率。Ho-Lee模型如图31-3所示，在短期利率平均变动上附加的是按正态分布的随机项。

图31-3　Ho-Lee模型

在Technical Note31里还证明了

其中

由4.6节我们知道，从今天的利率期限结构可得到对所有时刻t的零息债券价格P（0，T）。因此式（31-12）给出了以时刻t短期利率与债券在今天的价格表示的零息债券在将来时间t的价格。

31.3.2　Hull-White（单因子）模型

赫尔和怀特在1990年发表的一篇文章中讨论了如何将Vasicek模型推广到与初始期限结构相吻合的情形，^[2]他们所考虑的Vasicek模型扩展形式的其中一种是

或

其中a和σ为常数。这个模型通常被称为Hull-White模型。它既可以被刻画为具有均值回归速度a的Ho-Lee模型，也可以被刻画成具有依赖时间回归水平的Vasicek模型。在时间t，短期利率以a的速度回归到θ（t）/a。Ho-Lee模型是Hull-White模型对应于a=0时的特例。

Hull-White模型具有Ho-Lee模型同样的解析性质。在Technical Note 31里证明了

这个等式的最后一项一般很小，如果我们将其忽略，则r的漂移项在时间t等于F_t（0，t）+a［F（0，t）－r］。这说明了在平均意义下，r沿初始瞬时远期利率曲线的斜率方向变动。当利率离这一曲线太远时，均值回归会使利率以a的速度返回到该曲线。模型如图31-4所示。

图31-4　Hull-White模型

Technical Note31里证明了在Hull-White模型下，在时间t的债券价格为

其中

和

在下一节里我们将证明欧式债券期权的价格可以利用Hull-White模型与Ho-Lee模型的解析形式来计算。在本章的后面部分里我们将给出利用三叉树来表示这些模型的方法，这对美式期权或其他不能用解析公式定价的衍生产品是很有用处的。

31.3.3　Black-Derman-Toy模型

在1990年，Black、Derman和Toy提出了针对对数正态短期利率过程的二叉树模型。^[3]在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 23中解释了他们建立二叉树的程序。可以证明对应于这种模型的随机过程是

且有

其中σ′（t）是σ（t）对于t的导数。相对于Ho-Lee模型和Hull-White模型而言，Black-Derman-Toy模型的优点是利率不会取负值。维纳过程dz会使lnr取负值，但r本身永远是正的。模型的缺点是缺少解析性质。这个模型的一个更严重的缺点是构造树形时在波动率参数σ（t）与回归速度参数a（t）之间强加上了一种关系。只有当短期利率波动率是时间的递减函数时，回归速度才会是正的。

在实践中，这个模型最有用的是当σ（t）为常数时的特殊情形。这时参数a为零，所以在模型里没有均值回归性质。这时的模型为

这可以刻画成对数正态版的Ho-Lee模型。

31.3.4　Black-Karasinski模型

在1991年，Black和Karasinski建立了Black-Derman-Toy模型的一种推广形式，其中回归率与波动率由相互独立的方式确定。模型的最一般形式是^[4]

这个模型与Black-Derman-Toy模型的形式是一样的，但不同之处是在a（t）与σ（t）之间没有关系。在实践中常常将a（t）与σ（t）假设成常数，因此模型变为

与我们前面考虑的模型一样，函数θ（t）的选取是为了使模型与初始利率期限结构完全吻合。模型没有解析性质，但在本章的后面部分里我们将会看到，利用三叉树可以在确定θ（t）的同时也描述r的过程。

31.3.5　Hull-White两因子模型

赫尔和怀特发展了一种两因子模型^[5]

其中f（r）是r的函数，u的初始值为0，并且服从以下过程

和刚才考虑的单因子模型一样，参数θ（t）的选择是为了使模型与初始期限结构一致。随机过程u是f（r）回归水平的一部分，其自身以b的速度回归到水平0上。参数a，b，σ₁和σ₂均为常数，dz₁和dz₂为两个具有瞬时相关系数ρ的维纳过程。

与单因子模型相比，这个模型能够提供更为丰富的期限结构形状和更为丰富的波动率形状。在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note14中可以找到更多关于这个模型的结果。

[1] 见T.S.Y.Ho and S.-B.Lee，“Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims，”Journal of Finance，41（December 1986）：1011-29。

[2] 见J.Hull and A.White，“Pricing Interest Rate Derivative Securities，”Review of Financial Studies，3，4（1990）：573-92。

[3] 见F.Black，E.Derman，and W.Toy，“A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Prices，”Financial Analysts Journal，Journal/Febuary（1990）：33-39。

[4] 见F.Black and P.Karasinski，“Bond and Option Pricing When Short Rates Are Lognormal，”Financial Analyst Journal，July/August（1991），52-59。

[5]  见J.Hull and White，“Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II：Two-Factor Models，”Journal of Derivatives，2，2（Winter 1994）：37-48。