4.8　久期

顾名思义，债券的久期（duration）是指投资者收到所有现金流所要等待的平均时间。一个n年期零息债券的久期为n年，而一个n年带券息（coupon-bearing）债券的久期小于n年，这是因为持有人在n年之前就已经收到一些现金付款。

假定债券在t_i时刻给持有人提供的现金流为c_i（1≤i≤n）。债券价格B与收益率y（连续复利）之间的关系式为

债券久期D的定义是

也可以写为

以上方括号中的项为t_i时刻债券支付的现金流现值与债券价格的比率，而债券价格等于所有将来支付的现值总和，因此久期是付款时间t_i的加权平均，其中对应于t_i的权重等于t_i时刻的支付现值与债券总值的比率，这里的所有权重相加等于1。注意为了定义久期，所有贴现均采用债券收益率y（对于不同现金流，我们没有像在4.4节描述的那样采用不同的零息利率）。

当收益率有微小变化时，以下公式近似成立

由式（4-11），上式可以写成

（注意B与y之间呈反向关系：当收益率增加时，债券价格降低；而当收益率减小时，债券价格升高）。由式（4-12）和式（4-14），我们可以得出下面关于久期的重要公式

或写成

式（4-16）是关于债券价格百分比变化同收益率之间的一个近似关系式，这个公式非常易于使用，这也是为什么当麦考利（Macaulay）最初在1938年提出久期概念以后被广泛采用的原因。

表4-6　久期的计算

考虑一个面值为100美元、券息为10%的3年期债券。该债券按连续复利的年收益率为12%，即y=0.12。债券每6个月付息一次，券息值为5美元。表4-6显示有关债券久期的计算步骤，在计算中将收益率作为贴现率，计算出的现值被列在表中的第3列（例如第1次付息的现值为5e^-0.12×0.5=4.709），第3列数字之和等于债券价格94.213。将第3列中数字除以94.213美元即可得到久期的权重，第5列数字之和等于久期，即2.653年。

DV01对应于当所有利率都变化一个基点时，价格的变化。Gamma对应于利率变化一个基点时，DV01的变化。以下例子验证了久期关系式（4-15）的精确性。

例4-5

由表4-6所描述的债券价格为94.213，久期为2.653，根据式（4-15）

即

当收益率增加10个基点（=0.1%），即Δy=+0.001后，久期公式给出ΔB的近似结果为

由久期公式所预计的债券价格会下降到94.213-0.25=93.963，为了检验这个结果的准确性，我们计算当收益率增加10个基点到12.1%时的债券价格

这一数值同我们用久期公式预计的变化相同（精确到小数点后第3位）。

4.8.1　修正久期

以上的分析是建立在收益率y为连续复利的前提之下。如果y为1年复利1次的利率，可以证明这时的相应近似式（4-15）为

在y为1年m次复利的一般情形下

由

定义的变量D^*为债券的修正久期（modified duration）。久期关系式可以简化为

其中y是以每年复利m次所表示的收益率，以下的例子验证了修正久期的精确性。

例4-6

由表4-6描述的债券价格为94.213，久期为2.653。按每年复利两次的收益率为12.3673%，修正久期为

由式（4-17）我们得出

或

当收益率（1年复利2次）增加10个基点（0.1%），即Δy=+0.001时，由久期关系式估计的债券价格变化为ΔB为-235.39×0.001=-0.235，因此债券价格下降到94.213-0.235=93.978。这个结果的精确度有多高呢？通过与前面例子相同的计算，我们可以得出当收益率增加10个基点到12.4673%时，债券的价格为93.978。这说明当债券收益率变化很小时，修正久期计算公式是非常精确的。

另外一个常用的名词为绝对额久期（dollar duration），这一变量为修正久期与债券价格的乘积，因此ΔB=-D_＄Δy，其中D_＄为绝对额久期。

4.8.2　债券组合

债券组合的久期D可以被定义为构成债券组合中每一个债券久期的加权平均，其权重与相应债券价格成正比。式（4-15）至式（4-17）在这里仍然适用，其中B为债券组合的价值。这些方程可以用来估计当所有债券收益率都有一个微小变化Δy时对证券组合价值的影响。

当将久期的概念用于债券组合时，我们隐含地假设了所有债券的收益率变化都大致相同，认识到这一点是很重要的。当债券有不同的期限时，只有当零息利率曲线的变化是平行移动时，情形才会是这样。因此我们应将式（4-15）至式（4-17）理解为当零息收益率曲线有微小的平行移动Δy时，对于债券组合价值的估计。

通过确保资产久期等于负债久期来对冲所面临的利率风险（即净久期为0），金融机构可以消除由于收益率曲线微小平行移动所带来的风险，尽管这样，金融机构仍然会对大的平行移动与非平行移动存在风险敞口。