18.8　期货期权定价的布莱克模型

通过将以上结果进行推广，我们可以对欧式期货期权定价。费希尔·布莱克在1976年发表的一篇文章中首先证明了这一点。^[1]假设标的期货价格服从式（18-7）中的对数正态过程，期货期权上的欧式看涨期权价格c和看跌期权p可以由在式（17-4）与式（17-5）中将S₀由F₀取代，同时令q=r而给出

其中

其中σ为期货价格的波动率。当持有费用和便利收益率均为时间的函数时，我们可以证明期货价格的波动率等于标的资产的波动率。

例18-6

考虑一个原油期货上的欧式看跌期权，期权的期限为4个月，当前的期货价格为20美元，执行价格为20美元，无风险利率为每年9%，期货波动率为每年25%。这时F₀=20，K=20，r=0.09，T=4/12，σ=0.25和ln（F₀/K）=0，因此

看跌期权价格p为

即1.12美元。

由布莱克模型代替布莱克-斯科尔斯-默顿模型

18.3节中的结果说明当期权期限与期货期限相同时，期货期权与即期期权等价。因此式（18-9）和式（18-10）也提供了一种对于即期资产上欧式期权定价的方法。

例18-7

考虑一个6个月期限，标的资产为即期黄金价格的欧式看涨期权，即在6个月后买入1盎司黄金的期权。期权执行价格为1200美元，6个月期限的黄金期货价格为1240美元，无风险利率为每年5%，期货波动率为20%，这一期权等价于在6个月期限的期货价格上的欧式期权。式（18-9）可以给出这个期权的价格为

其中

计算出的期权价格为88.37美元。

与布莱克-斯科尔斯-默顿模型相比，交易员更喜欢采用布莱克模型来对欧式即期期权定价。这种用法非常广泛。标的资产既可以是消费资产也可以是投资资产，而且资产也可以给持有人提供收入。在式（18-9）和式（18-10）中的变量F₀被取成与期权期限一样的期货或远期合约价格。

式（17-13）和式（17-14）展示了如何将布莱克模型应用到关于货币即期期权的定价上。式（17-8）和式（17-9）则展示了如何将布莱克模型应用到关于股指即期期权的定价上。布莱克模型的很大优点是我们不需要去估计标的资产的收入（或方便收益）。在模型中的期货或远期价格已经将这些收入考虑在内。

在17.4节里，当考虑股指情形时，我们解释了由看跌-看涨期权平价关系式出发，如何从市场交易活跃的指数期权中隐含地计算相应期限的远期价格，通过对这些远期价格进行插值，我们还可以估计对应于其他期限的远期价格。对于许多其他标的资产，我们都可以进行类似的处理。

[1] 见F.Black，“The Pricing of Commodity Contracts，”Journal of Financial Economics，3（March 1976）：167-79。