4.7　远期利率合约

远期利率合约（FRA）是一种场外交易，这种交易的目的是锁定在将来一段时间借入或借出一定数量资金时的利率。在FRA合约中，借入和借出资金的利率常常设为LIBOR。

如果合约中约定的固定利率大于对应于同一时间段的LIBOR利率，借入方要支付借出方的数量等于固定利率与LIBOR利率的差乘以面值；在相反情形下，借出方要支付借入方，数量等于LIBOR利率与固定利率的差乘以面值。因为利息是在时间段的末端支付的，所以这里所支付的利率之差的时间也是在时间段的末端，然而通常是在区间开始时支付经过贴现以后的数量，见例4-3。

例4-3

假定一家公司签订了一项FRA合约，目的是使这家公司在3年后在1亿美元本金上收入4%的3个月期限固定利率。在FRA中公司将LIBOR转换成了4%的固定利率，期限为3个月。如果在3年后，3个月期限LIBOR为4.5%，资金借出方在3.25年时的现金流为

100000000×（0.04-0.045）×0.25=-125000（美元）

这一现金流与在3年时的以下现金流等价

因此，对于交易对手而言，在3.25年时现金流为+125000美元，或在3年时现金流为+123609美元（在这一例子中所有利率均为按季度复利）。

考虑以下远期利率合约，其中公司X同意在T₁和T₂之间将资金借给公司Y。定义

R_K：FRA中的约定利率；

R_F：由今天计算的介于时间T₁和T₂之间的LIBOR利率；^[1]

R_M：在时间T₁观察到的T₁和T₂之间的真正LIBOR利率；

L：合约的本金。

与以往不同，在这里我们将不采用连续复利的假设。我们假设R_K、R_F和R_M的复合频率均与这些利率相对应的区间保持一致。这意味着，如果T₂-T₁=0.5，那么这些利率为每半年复利一次；如果T₂-T₁=0.25，那么这些利率为每季度复利一次，等等（这一假设与市场上关于FRA的做法一致）。

一般来讲，公司X由LIBOR贷款所得收益应当为R_M，但FRA会使其收益为R_K。签订FRA会使公司X得到额外利率（也可能为负）为R_K-R_M。利率是在T₁设定并在T₂付出，因此对于X而言，额外利率会导致在T₂有以下数量的现金流

与此类似，对于Y而言，在T₂的现金流为

由式（4-7）和式（4-8）我们可以得出对于FRA的另外一种解释：在FRA中，X同意在T₁与T₂之间对本金收入固定利率R_K，并同时付出在市场上所实现的LIBOR利率R_M，公司Y对本金在T₁与T₂之间付出固定利率R_K，并同时收入LIBOR利率R_M。这种对FRA的理解对于我们在第7章里讨论互换时很重要。

通常FRA是在T₁时刻（而不是在T₂时刻）进行交割，因此必须将收益从T₂贴现到T₁。对于公司X，在时刻T₁的收益为

而对于公司Y，在T₁时刻的收益为

定价

为了对FRA定价，我们首先注意当R_K=R_F时，FRA的价格是0。^[2]当双方刚刚进入合约时，R_K被设定为R_F的当前取值，因此对于交易双方而言，合约的价值为0。（注：在实际中，这并不完全正确。像银行这样的造市商对于R_K会给出买入价和卖出价，买入价对应于银行将支付R_K，卖出价对应于银行将收入R_K。因此，在合约开始时，对于银行而言，FRA有一个小的正价值；对于交易对手而言，FRA有一个小的负价值。）随着时间变化，利率会有所变化，FRA合约的价值也就不再为0。

衍生产品合约在一个时刻的市场价值被称为是其逐日盯市（mark-to-market，MTM）的价值，为了计算一个收入固定利率合约的FRA的MTM价值，我们考虑以下由两个FRA组成的投资组合。第1个FRA承诺在时间T₁与T₂之间收入的利率为R_K，本金为L；第2个FRA承诺在T₁和T₂之间支付利率R_F，本金也是L。第1个FRA在时刻T₂的回报为L（R_K-R_M）（T₂-T₁），第2个FRA在时刻T₂的回报为L（R_M-R_F）（T₂-T₁），投资组合的整体回报等于L（R_K-R_F）（T₂-T₁），该回报在今天为确定量，投资组合是一个无风险投资，其价值等于在T₂时刻收益的贴现值，即

其中R₂为T₂期限的无风险利率。（注：注意R_K、R_M以及R_F的复利频率与T₂-T₁的长度一致，而R₂为连续复利。）因为第2个FRA中支付R_F，其价值为0。在第1个FRA中收入R_K，其价值

与此类似，支付R_K的FRA价值是

将式（4-7）与式（4-9），或式（4-8）与式（4-10）进行比较，我们看到可以采取以下过程为FRA定价：

（1）假定在远期利率会被实现的前提下（即R_M=R_K）计算收益；

（2）将收益用无风险利率进行贴现。

在第7章里对互换（FRA组合）定价时，我们将会用到这个结果。

例4-4

假定第1.5年与第2年之间的远期LIBOR利率为5%（每半年复利一次），某公司在此之前进入了一个FRA合约，约定该公司将收入5.8%（每半年复利一次），同时将支付LIBOR利率，面值为1亿美元。2年期限的无风险利率为4%（连续复利）。由式（4-9），我们得出FRA的价值为

[1] 在第7章和第9章中将会讨论LIBOR远期利率的计算方法。

[2] 这可以被看作远期LIBOR利率的定义。在理想情况下，当银行可以按LIBOR借入和借出资金时，银行可以人为地生成一项合约，在合约中可以收入或支付远期LIBOR利率，过程如4.6节所示。例如，银行可以借入一定度量期限为2年的资金，将资金投资3年，以此将2年到3年的远期利率作为投资利率。类似地，银行可以借入一定数量期限为3年的资金，将资金借出2年，以此将2年到3年的远期利率作为贷款利率。