26.2　永续美式看涨与看跌期权

当标的资产以费率q支付红利时，衍生产品价格满足的微分方程为式（17-6）

考虑一个当资产价格第一次等于H时支付数量Q的衍生产品。当S>H时，微分方程的边界条件是当S=H时f=Q，而当S=0时f=0。当α>0，函数f=Q（S/H）^α满足边界条件，如果α满足方程

那么f将满足微分方程。这个方程的正解是α=α₁，其中

以及w=r-q-σ²/2。因为既满足边界条件又满足微分方程，所以这肯定是期权的价格。

接下来考虑执行价格为K的永续美式看涨期权。假如当S=H期权被行使，收益是H-K。由上面的结果可知，期权的价值是。看涨期权持有人可以选择执行期权时的资产价格H。最优的H值使我们刚计算的价值达到最大。利用标准的微分方法，最优的选择是H=H₁，其中

因此，如果S<H₁，永续美式期权的价格为

如果S>H₁，应当马上执行期权，价值是S-K。

为了对美式看跌期权定价，考虑S>H的情形。当S=H时，衍生产品收益是Q（障碍H是从上面达到的）。在这种情形下，微分方程的边界条件S=H时f=Q，而当S趋于无限时，f=0。这时如果α>0，函数f=Q（S/H）^-α满足边界条件。与上面相同，当α=α₂时，函数也满足微分方程，其中

如果美式看跌期权持有人在S=H时选择行使期权，看跌期权的价值是。期权持有人将会选择使得价值达到最大的行使水平H=H₂，即

当S>H₂时，永续期权的价格是

如果S<H₂，应当马上行使期权，价值是K-S。

25.6节与练习题15.23给出了当q=0时结果的特殊情形。