15.12　股息

到目前为止，我们一直假设期权的标的股票不付任何股息。在本节中，我们对布莱克-斯科尔斯-默顿模型加以修改，以便考虑股息。我们假设在期权的有效期内，股息的数量与付出时间均可以被准确地预测到。对于短期限的期权来说，这个假设并不是不合理（对于长期限的期权，我们通常假设已知的是股息率，而不是股息的现金数量，这时可以按我们在第17章中所述的方法对期权定价）。股息付出日期应当被假设成除息日，在这个日期上，股票价格下跌的幅度为股息的数量。^[1]

15.12.1　欧式期权

为了分析欧式期权，我们假设股票价格由以下两部分组成：对应于在期权有效期内所付股息的无风险部分与有风险的部分。在任意给定时刻，无风险部分等于在期权有效期内的所有股息以无风险利率从除息日贴现到今天的现值。当期权到期时，这些股息已经被付出，从而无风险部分不再存在。因此，S₀表示为有风险的部分的价格、σ为有风险部分所服从过程的波动率时，布莱克-斯科尔斯-默顿公式仍然正确。（注：从理论上讲，这与股票整体价格的波动率不完全一样。有风险部分的波动率大概等于股票整体价格波动率乘以S₀/（S₀－D），其中D为股息的现值。）

在运作上，这意味着只要在股票价格中除去所有在期权有效期限内股息的贴现值，我们仍然可以采用布莱克-斯科尔斯-默顿模型来对期权定价。在计算股息贴现值时，我们采用的贴现日期为除息日，贴现利率等于无风险利率。像已经讲过的那样，只有除息日在期权有效期内的股息才被用于计算。

例15-9

考虑1份欧式股票看涨期权，股票在2个月与5个月后分别有一个除息日。预计在每个除息日的股息都为0.5美元。股票目前价格为40美元，执行价格为40美元，股票价格波动率为每年30%，无风险利率为每年9%，期权期限为6个月。股息的贴现值为

因此，期权价格可由布莱克-斯科尔斯-默顿公式求出，在公式中输入的参数为S₀=40-0.9742=39.0258，K=40，r=0.09，σ=0.3和T=0.5，由此得出

利用Excel中的NORMDIST函数可以得出

由式（15-20）得出期权价格为

即3.67美元。

有些研究人员对于以上给出的计算有股息股票的欧式期权价格的方法提出了批评。他们认为波动率应该是适用于股票价格，而不是剔除了股息贴现值以后的股票价格。研究人员也提出了一些具体的做法。^[2]当波动率是由历史数据来估计时，采用这些做法比较合理，但是，在实践中，计算期权时所使用的波动率几乎总是由第20章讲述的由其他期权价格隐含得出。如果一个交易员采用同一个模型来计算隐含波动率和期权价格，计算结果也会准确，并不会与模型高度相关。另外一点是，在实践中，如第18章所述，市场参与者通常采用标的资产远期价格来计算欧式期权价格，这样做可以避免直接计算资产的预期收入，远期股价的波动率等于股票价格扣除股息贴现值后的波动率。

在我们这里讨论的模型中，股票价格被分成了两个部分，这种做法是内在一致的，并在业界被广泛应用。在第21章中对于美式期权定价时我们也会采用同样的方法。

15.12.2　美式看涨期权

下面我们考虑美式看涨期权。在第11章我们看到，在没有股息的情况下永远不应该在到期日之前行使这个期权。将论证推广后可以证明，对于一个支付股息的美式期权，其最优行使时间只有可能为刚好在股票除息日之前的时刻。我们假定股票将预计在时间t₁，t₂，…，t_n（其中t₁<t₂<…<t_n）分发股息，在每个除息日相应的股息量分别为D₁，D₂，…，D_n。

我们首先考虑在最后一个除息日（即t_n）前提前行使期权的可能性。如果期权在t_n被行使，投资者的收益为

其中S（t）为股票在时间t的价格。如果期权没有被行使，股票价格下跌到S（t_n）－D_n。如式（11-4）所示，期权的值将大于

因此，如果

即

（注：原书中缺式（15-23）。——译者注）

那么在t_n时刻行使期权不会是最优。反之，如果

那么在对股票价格所服从随机过程所做的任何合理假设之下，当S（t_n）足够大时，在t_n行使期权是最优的。当最后一个除息日接近期权到期日（即当T－t_n很小）而且股息很大时，不等式式（15-25）往往会被满足。

接下来考虑t_n－1时刻，就是倒数第2个除息日。如果期权在t_n－1时被行使，投资者会收到

如果期权在t_n－1时刻没有被行使，股票价格降至S（t_n－1）－D_n－1，之后最近一个可行使期权的时刻为t_n。由式（11-4），如果在t_n－1不行使期权，期权价格的下限为

因此，如果

即

在t_n－1时行使期权不会是最优。与此类似，对于任意i<n，如果

那么在t_i时行使期权不会是最优。

不等式式（15-26）近似地等价于以下不等式

假如K与当前股票价格十分接近，股息率小于无风险利率时以上不等式将会成立。通常情况是这样的。

由这一分析我们可以得出，在大多数的情形下，美式看涨期权可能被提前行使的时间为最后一个除息日t_n。再有，如果不等式式（15-26）对于i=1，2，…，n－1均成立，并且不等式式（15-24）也成立，那么我们可以确认提前行使期权不会为最优选择，美式期权也因此可以被看作欧式期权。

15.12.3　布莱克近似法

布莱克建议了一种计算美式看涨期权的近似方法，^[3]这种方法考虑了期权可能被提前行使的特征。这种近似方法包括按本节前面所述的方法计算在T和t_n到期的欧式期权价格，然后令美式期权价格等于两者的最大值，^[4]这一公式是一个近似式，其效果相当于期权持有人在起始时刻就要决定期权在T和t_n是否会被行使。

[1] 由于税收的原因，股价下跌的数量会比股息的现金数量要小。为了考虑这个现象，我们将期权情形下的“股息”理解成由于股息而引起股票在除息日下跌的数量。因此，如果预计1美元的股息而股票价格通常在除息日下跌股息数量的80%，那么为了分析期权的目的，股息应当被假设成0.80美元。

[2] 例如，见N.Areal and A.Rodrigues，“Fast Trees for Options with Discrete Dividends，”Journal of Derivatives，21，1（Fall 2013），49-63。

[3] 对于只有一个除息日的情形，Roll，Geske和Whaley给出了一个准确公式，见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes上的Technical Note 4。这一公式涉及了二元正态分布函数，同一网页上的Technical Note 5给出了计算这一分布函数的程序。

[4] 见F.Black，“Fact and Fantasy in the Use of Options，”Financial Analysts Journal，31（July/August 1975）：36-41，61-72。