练习题

27.1　验证CEV模型下的期权公式满足看跌-看涨期权平价关系式。

27.2　当r=0.05，q=0，λ=0.3，k=0.5，σ=0.25，S₀=30，K=30，s=0.5以及T=1时，默顿混合跳跃-扩散模型的欧式看涨期权价格是什么？利用DerivaGem来验证你的答案。

27.3　验证当跳跃的幅度服从对数正态分布时，由默顿的跳跃-扩散模型得出的期权价格满足看跌-看涨期权平价关系式。

27.4　假定从今天到第6个月的资产波动率为20%，从6个月到12个月的资产波动率为22%，从12个月到24个月的资产波动率为24%。当利用布莱克-斯科尔斯-默顿公式对一个2年期的期权进行定价时，我们应采用什么样的波动率？

27.5　考虑默顿的跳跃-扩散模型，其中每次跳跃都将使资产价格变为0。假定每一年的平均跳跃次数为λ。证明欧式看涨期权的价格等价于在无跳跃时的看涨期权价格，只是无风险利率为r+λ（而不是r）。存在跳跃的可能会使得期权的价格增加还是减小？（提示：在无跳跃、一个跳跃、多跳跃的情况分别对期权进行定价，在时间T内，资产价格无跳跃的概率为e^－λT。）

27.6　在0时刻，一个无股息股票的价格为S₀，假设我们将0到T的时间区间分为两个部分，时间长度分别为t₁和t₂。在第1个时间区间内，无风险利率和波动率分别为r₁和σ₁；在第2个时间区间内，无风险利率和波动率分别为r₂和σ₂。假定世界为风险中性。

（a）利用第15章里的结果来确定股票价格在时刻T的分布，并将最终结果以r₁、r₂、σ₁、σ₂、t₁、t₂和S₀来表达。

（b）假定为0时刻与T时刻之间的平均利率，为0时刻与T时刻之间的平均方差率。股票价格在时刻T的分布是什么？将最终结果以、、T和S₀来表达。

（c）当共有3个时间段、3个不同的利率和3个不同的波动率时，（a）和（b）的结果会如何改变？

（d）证明当无风险利率r和波动率σ分别为时间的已知函数时，在风险中性世界里，股票价格在T时刻的概率分布满足

其中为r的均值，为σ²的均值，S₀为股票的当前价格，φ（m，v）为具有均值m和方差v的正态分布。

27.7　假定资产价格服从由式（27-2）和式（27-3）所定义的随机过程，说明模拟这一随机波动率模型中资产价格路径的方程。

27.8　“IVF模型并不一定能正确地描述了波动率曲面变化。”解释这一论点。

27.9　“当利率为常数时，IVF模型正确地给出了收益只与某单一时刻的资产价格有关的衍生产品价格。”解释这一论点。

27.10　采用一个3步二叉树来对一个美式回望货币期权进行定价，当前汇率为1.6，国内无风险利率为每年5%，外币的无风险利率为每年8%，汇率波动率为15%，期限为18个月。在计算中，采用27.5节中给出的算法。

27.11　当参数v趋于0时，方差-Gamma模型会如何变化？

27.12　采用一个3步二叉树来对一个美式看跌期权定价，期权标的变量为无股息股票价格的几何平均值，股票当前价格为40美元，执行价格为40美元，无风险利率为每年10%，股票价格波动率为每年35%，期限为3个月。几何平均值的计算由今天开始直到期权的到期日。

27.13　在27.5节中所描述的对于依赖路径期权定价的方法是否可用于对以下2年期的美式期权定价？期权的收益为max（S_ave－K，0），其中S_ave为在期权被行使前3个月的资产平均价格。解释你的答案。

27.14　验证图27-4中的数字6.492是正确的。

27.15　检查27.8节例子中所考虑的8条路径。最小二乘法和边界参数化所得出的提前行使策略有什么不同？对于给定的路径样本，哪个给出的期权价格会更高？

27.16　考虑一个无股息股票上的欧式看跌期权，股票当前价格为100美元，执行价格为110美元，无风险利率为每年5%，期限为1年。假定在期权期限内平均方差率等于0.06的概率为0.20、等于0.09的概率为0.50、等于0.12的概率为0.30。波动率与股票价格相互无关。估计期权的价格。在计算中使用DerivaGem软件。

27.17　当我们有两个障碍时，如何设计树形以保证节点落在两个障碍边界上？

27.18　考虑一个18个月期限的某公司零息债券，面值为100美元。在18个月内，债券持有者随时可将债券转换为5股公司的股票。假定股票的当前价格为20美元，股票不支付股息，对于所有期限的无风险利率均为每年6%（连续复利），股票价格的波动率为每年25%。假定违约密度为每年3%，债券回收率为35%，债券发行方可以以110美元的价格将债券赎回。利用一个3步树形计算债券的价格，转换期权的价值为多少（剔除发行方的看涨期权）？