25.11　其他模型

    在这一节里，我们将简要地讨论一些其他模型，这些模型可以用来代替已经成为市场标准的单因子高斯Copula模型。

    25.11.1　异质模型（Heterogeneous Model）[1]

    市场标准模型是一个同质模型（homogeneous model）。同质模型是指所有公司的违约时间概率分布均相同，而且任意两家公司之间的Copula相关系数也相等。我们可以放宽同质性的假设并采用更为一般的模型。但是，由此得出的模型会更为复杂，因为各家公司在任何时刻都将会有不同的违约概率，并且我们不能再由二项式公式即式（25-7）来计算P（k，t｜F）。我们需要使用像Andersen等（2003）以及Hull和White（2004）里所描述的数值方法来进行计算。[2]

    25.11.2　其他Copula模型

    单因子高斯Copula模型是用于描述违约时间之间相关性的特殊模型。除此之外还有许多其他的单因子模型，其中包括Student t Copula模型、Clayton Copula模型、Archimedean Copula模型以及Marshall-Olkin Copula模型。我们还可以通过假设式（23-10）中的F和Zi服从均值为0、方差为1的非正态分布来得出新的模型。赫尔和怀特说明了当F和Zi为具有4个自由度的Student t分布时，模型可以与市场达到较好的匹配，[3]他们将相应的模型叫作双重t Copula（double t Copula）模型。

    另一种处理方式是增加模型中的因子个数，但不幸的是这样做会使模型的运算变得很缓慢，因为时常需要在多个（而不是只在一个）正态分布上积分。

    25.11.3　随机因子载荷模型

    Andersen和Sidenius提出了一种将式（25-5）中的Copula相关系数ρ取成F函数的模型。[4]

    一般来讲，ρ会随F的减小而增大，这意味着当违约率较高时（即当F较低时），违约相关性也会很高，实证结果确实证明了这一点。[5]Andersen和Sidenius发现他们的模型对于市场报价的匹配比标准市场模型要好。

    25.11.4　隐含Copula模型

    赫尔和怀特说明了如何由市场报价来通过隐含的形式计算Copula函数。[6]这种模型的最简单形式是假定在CDO期限内对所有公司均采用某个平均违约率，其中平均违约率的概率分布可以通过份额的市场价格以隐含的方式得出。在概念上讲，计算隐含Copula函数的做法同第20章中由期权价格计算隐含概率分布的做法相似。

    25.11.5　动态模型

    到目前为止，我们所讨论的模型均可以归纳为静态模型（static model）。从根本上来讲，这些模型只是在CDO期限内对平均违约环境进行模拟。对5年期CDO构造的模型与对7年期CDO构造的模型是不同的，而后者与对10年期CDO构造的模型也不相同。动态模型（dynamic model）与静态模型有所不同，它试图对资产组合随时间变化产生的损失进行模拟。有3种不同类型的动态模型：

    （1）结构模型（structural model）：这类模型与第24.6节里所描述的模型类似，其不同之处是需要同时建立描述许多公司资产价格的随机过程。当公司资产的价格达到一定的边界值时，违约会发生。资产价格所服从的过程之间具有相关性。这类模型的缺点是在实现过程中必须采用蒙特卡罗模拟，从而校正过程比较困难。

    （2）简化模型（reduced form model）：这类模型是对公司的违约率进行模拟。为了建立比较切合实际的相关系数，需要在违约率上附加一些跳跃。

    （3）至顶向下模型（top down model）：这类模型对资产组合的整体损失进行模拟，不考虑单一公司的信用变化。

    [1] 原书只讲述了同质模型。——译者注

    [2] 见L.Andersen，J.Sidenius，and S.Basu，“All Your Hedges in One Basket，”Risk，November 2003，和J.C.Hull and White，“Valuation of a CDO and nth-to-Default Swap without Monte Carlo Simulation，”Journal of Derivatives，12，2（Winter 2004），8-23。

    [3] 见J.C.Hull and White，“Valuation of a CDO and nth-to-Default Swap without Monte Carlo Simulation，”Journal of Derivatives，12，2（Winter 2004），8-23。

    [4] 见L.Andersen，J.Sidenius，“Extension of the Gaussian Copula Model：Random Recovery and Random Factor Loadings，”Jounral of Credit Risk，1，1（Winter 2004），29-70.

    [5] 见，例如，A.Sevigny and O Renault，“Default Correlation：Empirical Evidence，”Working Paper，Standard and Poor’s（2002）；S.R.Das，L.Freed，G.Geng，and N.Kapadia，“Correlated Default Risk，”Journal of Fixed Income，16（2006），2，7-32，J.C.Hull，M.Predescu and A.White，“The Valuation of Correlation-Dependent Credit Derivatives Using a Structural Model，”Working Paper，University of Toronto，2005；and A.Ang and J.Chen，“Asymmetric Correlation of Equity Portfolios，”Journal of Financial Economics，63（2002），443-494。

    [6] 见J.C.Hull and White，“Valuing Credit Derivatives Using an Implied Copula Approach，”Journal of Derivatives，14（2006），8-28。