3.4　交叉对冲

在例3-1和例3-2中，对冲时所用期货的标的资产与被对冲的资产是一样的。当两种资产不同时就会出现交叉对冲（cross hedging）。例如，某家航空公司对航空燃料油的未来价格有些担心，但是由于没有航空燃料油的期货，这家公司也许会利用民用燃料油期货合约来对冲风险。

对冲比率（hedging ratio）是指持有期货合约的头寸数量与资产风险敞口数量的比率。当期货标的资产与被对冲资产一样时，对冲比率当然应该取为1.0。这正是我们在以上所有例子中所采用的对冲比率。例如，在例3-2中，对冲者的风险敞口为20000桶原油，期货所对应的资产交割数量刚好与这个头寸相等。

当采用交叉对冲时，将对冲比率取为1.0并不一定是最优的选择。对冲者采用的对冲比率应当使被对冲后头寸价格变化的方差达到极小。我们现在考虑对冲者如何能做到这一点。

图3-2　即期价格变化与期货价格变化之间的回归曲线

3.4.1　计算最小方差对冲比率

最小方差对冲比率取决于即期价格的变化与期货价格变化之间的关系。我们采用以下符号

ΔS：在对冲期限内，即期价格S的变化；

ΔF：在对冲期限内，期货价格F的变化。

我们用h表示最小方差对冲比率，可以证明h是ΔS对ΔF进行线性回归时所产生的最优拟合直线（best-fit line）的斜率（见图3-2）。这个结果在直观上很合理：我们希望h^*是当F变化一定数量时，S平均变化的比例。

h^*的公式如下

其中σ_S是ΔS的标准差，σ_F是ΔF的标准差，ρ是两者之间的相关系数。

式（3-1）显示最佳对冲比率等于ΔS与ΔF之间的相关系数乘以ΔS的标准差与ΔF的标准差之间的比率。图3-3说明对冲者头寸价值变化的方差与对冲比率之间的关系。

图3-3　对冲者头寸价值变化的方差与对冲比率的关系

如果ρ=1和σ_F=σ_S，对冲比率h为1.0：因为这时期货价格变化正好等于即期价格的变化，这一结果正是我们所预期的。如果ρ=1和σ_F=2σ_S，最佳对冲比率h为0.5：因为这时期货价格的变化幅度是即期价格变化幅度的两倍，这一结果也正好是我们所预期的。对冲效率（hedge effectiveness）可以被定义为对冲所消除的方差量占总方差的比例，这正是将ΔS对ΔF进行线性回归的R²系数，等于ρ²。

式（3-1）中的参数ρ、σ_F和σ_S通常是通过ΔS和ΔF的历史数据来估计（这里所隐含的假设是从某种意义上，历史反映未来）。在计算中要选择一定数量的长度相等而且互不重叠的时间区间，然后在每个区间上观测ΔS和ΔF的值，理想的做法是将时间区间选成与对冲的期限相同。在实际中，这种做法有时会严重地限制可以利用的观察值数量，因此在计算过程中一般会选用比较小的时间区间。

3.4.2　最优合约数量

为了计算对冲所用的合约数量，定义：

Q_A：被对冲头寸的数量（单位数量）；

Q_F：1份期货合约的规模（单位数量）；

N^*：用于对冲的最优期货合约数量。

期货合约应当是关于h^*Q_A单位的资产，因此所需要的期货合约份数为

例3-3说明了一家航空公司如何将这一节中的结果用于对冲燃料购买。^[1]

例3-3

某航空公司预计在1个月后需要购买200万加仑^[2]。航空燃料油，并决定利用民用燃料油期货来对冲。我们假设表3-2给出了连续15个月每加仑航空燃料油价格变化ΔS，以及用于对冲的民用燃料油期货价格的相应变化ΔF。利用通常计算标准差和相关系数的公式，我们可以得出σ_F=0.0313，σ_S=0.0263，ρ=0.928。

表3-2　当利用民用燃料油期货对冲航空燃料油时，决定最小方差对冲比率的数据

由式(3-1)可以得出最小方差对冲比率h^* 为

每份CME集团的民用燃料油期货是关于42000加仑民用燃料油,由式(3-2),最优合约的数量为

近似到最近的整数,合约数量为37。

3.4.3　尾随对冲

如果我们用来对冲的是远期合约，上面的分析是正确的，这是因为我们感兴趣的确实是在对冲期限内远期价格变化和即期价格变化的相关程度。

当利用期货进行对冲时，会存在期货合约的每天结算和一系列持续1天的对冲交易问题。为了反映这个特征，分析员有时计算期货价格每天百分比变化和即期价格每天百分比变化之间的相关系数，将此系数记为。另外，将期货价格每天百分比变化的标准差记为，即期价格每天百分比变化的标准差记为。

如果S和F为即期和期货价格，1天价格变化的标准差分别为和。由式（3-1）得出，期限为1天的对冲比率为

由式（3-2）得出，为了下一天对冲需要持有的合约数量为

采用以上结果来计算对冲合约数量的做法有时被称为尾随对冲（tailing the hedge）。^[3]我们可将这一结果表达为

其中V_A为被对冲头寸的实际货币价值（=SQ_A），V_F为一个期货合约的货币价值（=FQ_F），与h^*类似，的定义是

从理论上讲，这个结果说明应当将对冲期货的头寸随着V_A和V_F的变化而调整，但在实际中，在一天内对冲的变化很小，通常被忽略。

[1] 收益与航空燃料油挂钩的衍生产品确实存在，但民用燃料油期货却常常被用来对冲航空燃料油的风险敞口，这是因为民用燃料油期货的交易更为活跃。

[2] 1英制加仑＝4.546升；1美制加仑＝3.785升

[3] 关于与货币对冲相关的讨论，见练习题5.23。