27.3　IVF模型

到目前为止，在所讨论的模型中，我们可以选取参数以便使得在任意一天内的模型价格均与简单期权价格比较接近。金融机构有时想更近一步，在选择模型时使模型价格与简单产品的市场价格达到完全一致。^[1]在1994年，Derman和Kani，Dupire以及Rubinstein发展了这样的模型，这类模型在后来被称为隐含波动率函数（implied volatility functional，IVF）模型或隐含树形（implied tree）模型。^[2]不管波动率曲面的形状如何，这种模型均可以与任意一天所观察到的欧式期权价格达到完全匹配。

在风险中性世界里，模型中的资产价格服从以下形式的随机过程

其中r（t）为在t时刻到期的瞬时远期利率，q（t）为依赖于时间的股息收益率，波动率σ（S，t）为S和t的函数，其选择是保证模型价格与所有在市场上观察到的欧式期权价格一致。Dupire，Andersen和Brotherton-Ratcliffe均证明了σ（S，t）可由以下解析公式来计算^[3]

其中c_mkt（K，T）是执行价格为K、期限为T的欧式看涨期权市场价格。当市场上存在足够多的欧式看涨期权时，可以用这一方程来估计函数σ（S，t）。^[4]

Andersen和Brotherton-Ratcliffe采用将式（27-4）与隐式差分法相结合的方式实现了这个模型。Derman、Kani以及Rubinstein通过构造标的资产树形结构给出了另一种方法，这里的树形结构与市场上简单期权的价格是一致的。

在实际应用中，我们需要每天对IVF模型进行校正，以确保模型价格与简单期权价格的一致性，这种模型成了能与简单期权价格保持一致并能为特种期权定价的工具。在第20章的讨论中我们曾指出简单期权定义了资产价格在将来任一时间的风险中性概率分布。因此IVF模型给出的资产价格在将来任一时间上的风险中性概率分布都是正确的。这意味着，如果期权的收益只在一给定时刻发生（例如，全部或空手（all-or-nothing）或资产或空手（asset-or-nothing）），IVF模型给出的价格一定为正确价格。但是，模型给出的资产在两个时间或多个时间的联合分布却不一定正确。这意味着，对于特种期权（例如复合期权和障碍期权），这种模型给出的价格就不一定是正确的。^[5]

[1] 这么做有一个实际原因。如果银行采用的模型不具备这一特性，银行的交易员可能会对银行的内部模型进行套利。

[2] 见B.Dupire，“Pricing with Smile，”Risk，February（1994）：18-20；E.Derman and I.Kani，“Riding on a Smile，”Risk，February（1994）：32-39；M.Rubinstein，“Implied Binomial Trees”Journal of Finance，49，3（July 1994），771-818。

[3] 见B.Dupire，“Pricing with Smile，”Risk，February（1994）：18-20；L.B.G.Andersen and R.Brotherton-Ratcliffe“The Equity Option Volatility Smile：An Implicit Finite Difference Approach，”Journal of Computational Finance 1，No.2（Winter 1997/98）：5-37。Dupire考虑了r和q等于0的情形；Andersen和Brotherton-Ratcliffe考虑了更一般的情形。

[4] 这里有必要对观察到的波动率曲面进行光滑处理。

[5] Hull和Suo假定所有衍生产品价格均由随机波动率模型来确定，并由此来检验IVF模型。他们发现对于复合期权，模型表现不错，但对于障碍期权，模型可能会产生很大的误差。见J.C.Hull and W.Suo，“A Methodology for the Assessment of Model Risk and its Application to the Implied Volatility Function Model，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，37，2（June 2002）：297-318。