15.8　布莱克-斯科尔斯-默顿定价公式

微分方程式（15-16）最著名的解是关于看涨期权与看跌期权的定价公式，这些公式为

和

其中

函数N（x）为标准正态分布的累积概率分布函数。换言之，这一函数等于服从标准正态分布φ（0，1）的随机变量小于x的概率（见图15-3）。我们对方程中的其他记号应当很熟悉：c与p分别为欧式看涨与看跌期权的价格，S₀为股票在时间0的价格，K为执行价格，r为连续复利的无风险利率，σ为股票价格的波动率，T为期权的期限。

图15-3　阴影区域代表N（x）

一种推导布莱克-斯科尔斯-默顿公式的方法是解微分方程式（15-16）满足在15.6节提到过的边界条件。（注：微分方程给出了看涨与看跌期权在时间t的价格。例如，满足方程的看涨期权价格是c=S₀N（d₁）－Ke^{－r（T－t）}N（d₂），其中和。）（为了证明式（15-20）中的看涨期权价格满足微分方程，见练习题15.17。）另一种方法是利用风险中性定价。考虑欧式看涨期权，在风险中性世界里当期权到期时的期望值是

与前面相同，其中为在风险中性世界里的期望值。从风险中性定价方法我们知道，欧式看涨期权的价格c等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，也就是说

在本章的附录中我们证明了由这个式子可以得出式（15-20）中的结果。

由于提前行使不支付股息股票上美式看涨期权永远不会是最优的（见11.5节），所以式（15-20）也是不付股息股票上美式看涨期权的价值。不幸的是，还没有不付股息股票上美式看跌期权价值的精确解析公式。在第21章中我们将讨论计算美式看跌期权的数值方法。

在实际中应用布莱克-斯科尔斯-默顿公式时采用的利率r等于期限为T的无风险利率。在后面的章节中我们将证明，当r是时间的已知函数时，在理论上公式仍然是成立的，而且只要股票价格在时间T服从对数正态分布，并且波动率参数取得适当，那么当r是随机时，这个公式也是成立的。我们在前面提到过，一般来讲，时间是按期权有效期内的交易天数除以1年内的交易天数来度量的。

15.8.1　如何理解N（d₁）和N（d₂）

式（15-20）中的N（d₂）有一个简单解释，它是在风险中性世界里期权被行使的概率，而N（d₁）却没有一个简单解释，表达式S₀N（d₁）e^rT是一个在S_T>K时等于S_T，在其他情形（即S_T≤K时）等于零的变量在风险中性世界里的期望值。只有当股票价格大于执行价格K时，执行价格才会被支付，相应的概率为N（d₂），在风险中性世界里，期权在时间T期望值等于

将以上表达式由时间T到时间0进行贴现，得出欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯-默顿公式

对于布莱克-斯科尔斯-默顿公式，我们还有另外一种解释。我们注意到布莱克-斯科尔斯-默顿公式也可以写成

以上公式的各项有以下解释

15.8.2　布莱克-斯科尔斯-默顿公式的性质

通过考虑给一些参数取极端值，我们现在证明布莱克-斯科尔斯-默顿公式具有正确的性质。

当股票价格S₀很大时，看涨期权几乎肯定会被执行，这时期权与执行价格为K的远期合约非常相似。根据式（5-5）得出看涨期权价格应该为

事实上，以上公式正好是式（15-20）所给出的期权价格：因为当S₀很大时，d₁及d₂均很大，因此N（d₁）与N（d₂）均接近于1.0。当股票价格很大时，欧式看跌期权的价格接近于零，这与式（15-21）是一致的，因为在这种情形下N（－d₁）与N（－d₂）均接近于零。

接着我们考虑当波动率接近于零的情形。因为股票价格几乎是无风险的，其价格在时间T将会增长到S₀e^rT，看涨期权的收益为

以利率r贴现，看涨期权在今天的价值是

为了证明这与式（15-20）一致，首先考虑当S₀>Ke^-rT的情况，这意味着ln（S₀/K）+rT>0。当σ趋于零时，d₁和d₂均趋向于+∞，因此N（d₁）与N（d₂）均趋向于1.0，式（15-20）变成了

当S₀<Ke^-rT时，将有ln（S₀/K）+rT<0。当σ趋于零时，d₁和d₂均趋向于－∞，所以N（d₁）与N（d₂）均趋向于零，方程所给的看涨期权价格为零。类似地，我们可以证明当σ趋于零时，看跌期权的价格总是max（Ke^－rT－S₀，0）。